Marco perturbativo en mecánica cuántica para aproximar la evolución de un sistema con Hamiltoniano H(t)=H0+V(t) donde la perturbación V(t) es dependiente del tiempo; se expande el operador de evolución temporal o las amplitudes de estado en potencias de V(t) para calcular amplitudes y probabilidades de transición entre autostados no perturbados.

Principio

Tratar la perturbación dependiente del tiempo como pequeña respecto al Hamiltoniano dominante H0 y expandir la evolución en una serie de potencias (imagen de interacción o serie de Dyson); a corto plazo se permite la no conservación exacta de energía, mientras que en tiempos largos la interferencia impone una conservación de energía aproximada.

Demostración

Átomo de dos niveles excitado por un campo electromagnético oscilante y débil: calcular la amplitud de transición de primer orden mediante la integral temporal del elemento de matriz de interacción; en la cercanía a resonancia aparece una frecuencia tipo Rabi y, en el límite de tiempos largos y acoplamiento débil, se obtienen tasas de transición proporcionales al cuadrado del elemento de matriz.

Aplicación incorrecta

Aplicar la expansión perturbativa dependiente del tiempo cuando V(t) no es pequeña (conducción fuerte), en resonancia sin reordenamiento, o para tiempos arbitrariamente largos donde términos seculares invalidan la expansión truncada; tratar oscilaciones de Rabi no perturbativas con TDPT de primer orden.

Consecuencia

Proporciona amplitudes de transición explícitas, reglas de selección y probabilidades o tasas de transición aproximadas (y, mediante el límite de tiempos largos, la Regla de Oro de Fermi); indica cuándo y con qué velocidad tienen lugar las transiciones inducidas por la perturbación.

Inversión

Invertir hacia la teoría de perturbaciones independiente del tiempo donde la perturbación es estática y se resuelven los autovalores y autovectores corregidos en lugar de amplitudes de transición; el interés cualitativo cambia de probabilidades de transición a desplazamientos de energía estacionarios.

Límite

Válida cuando V(t) es pequeña en los elementos de matriz relevantes comparada con las separaciones de energía, para tiempos cortos a moderados o cuando se aplican técnicas de reordenamiento (p. ej. aproximación de onda giratoria o teoría de Floquet); excluye regímenes fuertemente no perturbativos, quenchs en sistemas de muchos cuerpos y casos que requieren evolución unitaria exacta en tiempos arbitrarios.

Tensión semántica

Compite con enfoques no perturbativos (integración exacta, teoría de Floquet para excitación periódica y propagación temporal numérica); hay tensión entre usar TDPT para tasas (límite de tiempo largo y continuum) y usarla para dinámicas coherentes transitorias donde puede fallar.

Síntesis

La teoría de perturbaciones dependientes del tiempo es la expansión controlada de la evolución cuántica bajo una interacción débil y explícitamente dependiente del tiempo: calcular integrales temporales de los elementos de matriz en la imagen de interacción proporciona amplitudes de transición cuyo valor absoluto al cuadrado y límite temporal largo dan probabilidades y tasas observables.