Un vector real de tres componentes r en R^3 que codifica la matriz densidad ρ de un qubit mediante ρ = (I + r·σ)/2, con σ = (σ_x, σ_y, σ_z) las matrices de Pauli; la norma |r|≤1 cuantifica la pureza y la dirección da los valores esperados de las observables de Pauli.

Principio

Mapear el operador densidad hermítico 2×2 a un vector real euclidiano mediante r_i = Tr(ρ σ_i); este isomorfismo lineal entre matrices densidad de qubit y la bola de Bloch organiza geométricamente propiedades del estado (pureza, poblaciones, coherencias).

Demostración

Para el estado puro |0⟩⟨0|, r = (0,0,1); para |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2, r = (1,0,0). Un estado mixto ρ = p|0⟩⟨0| + (1−p)I/2 tiene r = (0,0,2p−1) y |r| = |2p−1|.

Aplicación incorrecta

Usar un vector arbitrario de tres componentes como vector de Bloch sin verificar |r|≤1 y la semidefinición positiva de ρ conduce a 'estados' no físicos (autovalores negativos) y a predicciones incorrectas.

Consecuencia

El uso correcto permite calcular directamente valores esperados Tr(ρ σ_i)=r_i, obtener una medida de pureza (Tr ρ^2 = (1+|r|^2)/2) y una imagen geométrica compacta de dinámicas y decoherencia de un qubit.

Inversión

En lugar de representar la matriz densidad por r, se puede representar un estado puro mediante un vector normalizado en C^2 que conserva la fase global; convertir a r elimina la fase global y no distingue kets equivalentes por fase.

Límite

Válido solo para sistemas de dos niveles (qubit) descritos por matrices densidad 2×2; sistemas de dimensión mayor requieren vectores de Bloch generalizados en R^{d^2−1} con restricciones distintas y menos intuición geométrica directa.

Tensión semántica

Vector de Bloch frente a vector de estado: ambos codifican información de un qubit, pero el vector de Bloch codifica solo la matriz densidad (sin fase global) y enfatiza la mezcla, mientras que el vector de estado codifica relaciones de fase y amplitudes de estados puros.

Síntesis

El vector de Bloch es la representación real tridimensional única de una matriz densidad de qubit obtenida por expectativas de Pauli; su dirección da estadísticas de medida, su norma la pureza, y fundamenta el análisis geométrico de operaciones y ruido en un qubit.