Un vecteur réel à trois composantes r dans R^3 qui encode une matrice densité ρ d'un qubit simple par ρ = (I + r·σ)/2, où σ = (σ_x, σ_y, σ_z) sont les matrices de Pauli ; la norme |r|≤1 mesure la pureté et la direction donne les valeurs moyennes des observables de Pauli.

Principe

Faire correspondre l'opérateur densité hermitien 2×2 à un vecteur réel euclidien en posant r_i = Tr(ρ σ_i) ; cet isomorphisme linéaire entre matrices densité de qubit et la boule de Bloch organise géométriquement les propriétés d'état (pureté, populations, cohérences).

Démonstration

Pour l'état pur |0⟩⟨0|, r = (0,0,1) ; pour |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2, r = (1,0,0). Un état mixte ρ = p|0⟩⟨0| + (1−p)I/2 a r = (0,0,2p−1) et |r| = |2p−1|.

Mauvaise application

Utiliser un vecteur arbitraire à trois composantes comme vecteur de Bloch sans vérifier |r|≤1 et la semi‑définition positive de ρ conduit à des « états » non physiques (valeurs propres négatives) et à des prédictions incorrectes.

Conséquence

Une utilisation correcte permet de calculer directement les valeurs moyennes Tr(ρ σ_i)=r_i, de mesurer la pureté (Tr ρ^2 = (1+|r|^2)/2) et d'obtenir une représentation géométrique compacte des dynamiques et décohérences d'un qubit.

Inversion

Au lieu de représenter la matrice densité par r, on peut représenter l'état pur par un vecteur normalisé de C^2 qui conserve la phase globale ; la conversion en r efface la phase globale et ne distingue pas des kets équivalents par phase.

Limite

Valable uniquement pour des systèmes à deux niveaux (qubit) décrits par des matrices densité 2×2 ; les systèmes de dimension supérieure exigent des vecteurs de Bloch généralisés en R^{d^2−1} avec des contraintes différentes et une intuition géométrique moins directe.

Tension sémantique

Vecteur de Bloch versus vecteur d'état : les deux codent l'information d'état pour un qubit mais le vecteur de Bloch encode seulement la matrice densité (pas la phase globale) et met l'accent sur la mixité, tandis que le vecteur d'état encode les amplitudes et relations de phase des états purs.

Synthèse

Le vecteur de Bloch est la représentation réelle tridimensionnelle unique d'une matrice densité de qubit obtenue par les valeurs moyennes des Pauli ; sa direction donne les statistiques de mesure, sa norme la pureté, et il fonde l'analyse géométrique des opérations et du bruit sur un qubit.