Operador, usualmente denotado S_− o J_− y definido como J_x − i J_y, que disminuye el número cuántico magnético m en una unidad al actuar sobre un estado |s,m>, produciendo un estado proporcional a |s,m−1> con amplitud proporcional a ħ√[s(s+1)−m(m−1)].

Principio

Complementario de J_+, satisface [J_z,J_−] = −ħ J_− y representa la estructura algebraica su(2) que baja los valores propios de J_z en una unidad sin cambiar J^2.

Demostración

Para spin 1/2, S_−|1/2,1/2> = ħ |1/2,−1/2>. En general S_−|s,m> = ħ √[s(s+1)−m(m−1)] |s,m−1>, y S_− aniquila el estado de mínimo peso |s,−s>.

Aplicación incorrecta

Tratar S_− como si cambiara el spin total s, usarlo más allá del m mínimo esperando un resultado no nulo, o confundirlo con un operador de aniquilación de partículas en teoría de campos son errores comunes.

Consecuencia

Su uso correcto permite construir estados de m menor a partir de estados con m mayor, impone la regla de selección Δm=−1 en transiciones y suministra elementos de matriz para cálculos de observables y amplitudes de desintegración.

Inversión

La acción inversa es el operador elevador S_+; aplicar S_+ después de S_− en un estado no extremo devuelve el estado original salvo normalización y fases.

Límite

Válido en representaciones de dimensión finita de su(2) (s entero o semientero) sobre el espacio de Hilbert correspondiente; opera dentro de un mismo multiplete de spin y no es un operador general de aniquilación de partículas salvo que se especifique una correspondencia.

Tensión semántica

Existe confusión entre la bajada algebraica de m y la aniquilación física: el signo menos aparece en distintos contextos, por lo que es preciso aclarar la representación empleada.

Síntesis

El operador abajador de spin J_− = J_x − iJ_y es el operador escalera de su(2) que disminuye la cuántica magnética en una unidad dentro de una representación de spin dada, con factor de amplitud √[s(s+1)−m(m−1)]ħ.