Opérateur D'Abaissement de Spin Dictionary

Opérateur, habituellement noté S_− ou J_− et défini par J_x − i J_y, qui diminue la composante magnétique m d'une unité lorsqu'il agit sur un état propre |s,m>, donnant un état proportionnel à |s,m−1> avec amplitude proportionnelle à ħ√[s(s+1)−m(m−1)].

Principe

Complémentaire de J_+, il satisfait [J_z,J_−] = −ħ J_− et réalise la structure algébrique su(2) qui abaisse les valeurs propres de J_z d'une unité sans modifier J^2.

Démonstration

Mauvaise application

Considérer que S_− change la valeur totale s, l'utiliser au-delà de la valeur minimale de m en attendant un résultat non nul, ou le confondre avec un opérateur d'annihilation de particule en théorie des champs sont des erreurs courantes.

Conséquence

Une utilisation correcte permet de construire des états de faible m à partir d'états de m supérieur, impose la règle de sélection Δm=−1 pour les transitions et fournit les éléments de matrice pour le calcul d'observables et d'amplitudes de décrochement.

Inversion

L'inverse est l'opérateur d'élévation S_+ ; appliquer S_+ après S_− sur un état non extrémal permet de retrouver l'état initial à un facteur de normalisation et de phase près.

Limite

Valide dans les représentations de dimension finie de su(2) (s entier ou demi-entier) sur l'espace de Hilbert correspondant ; il agit au sein d'un même multiplet de spin et n'est pas un opérateur général d'annihilation de particules en théorie des champs sans correspondance explicite.

Tension sémantique

On confond souvent l'abaissement algébrique de m avec l'annihilation physique : le même signe moins apparaît dans des contextes différents, d'où la nécessité de préciser la représentation et l'espace de Hilbert.

Synthèse

L'opérateur d'abaissement de spin J_− = J_x − iJ_y est l'opérateur d'échelle de su(2) qui diminue la composante magnétique d'une unité au sein d'une représentation de spin donnée, avec le facteur d'amplitude √[s(s+1)−m(m−1)]ħ.

Opérateur D'Abaissement de Spin