Un observable (operador autoadjunto) cuyo valor esperado es constante en el tiempo para un sistema cerrado, típicamente porque su operador conmuta con el Hamiltoniano del sistema o porque existe una simetría continua correspondiente (conexión con el teorema de Noether).

Principio

Las simetrías continuas generan cantidades conservadas: si un observable G genera una simetría que deja invariante al Hamiltoniano, entonces [G,H]=0 y ⟨G⟩ es independiente del tiempo; equivalentemente una ecuación de continuidad local expresa la conservación de una densidad y su corriente.

Demostración

En un sistema invariante por traslaciones, el operador del momento total P conmuta con H, por lo que d⟨P⟩/dt=0 y el momento se conserva; en un átomo aislado con invariancia rotacional el momento angular total J se conserva y etiqueta los estados propios de energía.

Aplicación incorrecta

Llamar a una magnitud 'conservada' en un sistema abierto con reservorios, en presencia de dependencia temporal explícita H(t), o ignorar flujos de frontera en una ecuación de continuidad es incorrecto y conduce a afirmaciones falsas de conservación.

Consecuencia

Una cantidad conservada reduce la complejidad dinámica: proporciona constantes del movimiento, reduce los grados de libertad efectivos, impone reglas de selección y fundamenta degeneraciones y estabilidad de ciertos estados y excitaciones.

Inversión

Una cantidad no conservada no necesariamente conmuta con el Hamiltoniano y generalmente evolucionará en el tiempo; romper la simetría asociada a una cantidad conservada conduce a transferencia, amortiguamiento o separación de la magnitud previamente preservada.

Límite

La conservación se define en relación con el sistema y la simetría especificados: la conservación exacta se da en sistemas cerrados bajo la simetría; la conservación aproximada o emergente puede sostenerse en ciertas escalas temporales o regímenes límite pero no es absoluta.

Tensión semántica

Diferenciar 'cantidad conservada' (operador que conmuta con H o que satisface una ecuación de continuidad) de una mera 'constante del movimiento' (valor temporalmente invariante a lo largo de una trayectoria particular) o de una magnitud clásica conservada; en mecánica cuántica hay que precisar relaciones de conmutador y valores esperados.

Síntesis

Una cantidad conservada es el observable cuántico asociado a una simetría cuyo generador conmuta con el Hamiltoniano (o satisface una ecuación de continuidad), produciendo valores esperados invariantes en el tiempo, reduciendo los grados de libertad dinámicos e introduciendo reglas de selección y rasgos espectrales protegidos.