Un observable (opérateur auto-adjoint) dont la valeur moyenne est constante dans le temps pour un système clos, généralement parce que l'opérateur commute avec le Hamiltonien du système ou parce qu'une symétrie continue correspondante existe (lien avec le théorème de Noether).

Principe

Les symétries continues engendrent des quantités conservées : si un observable G engendre une symétrie qui laisse invariant le Hamiltonien, alors [G,H]=0 et ⟨G⟩ est indépendant du temps ; de façon équivalente une équation de continuité locale exprime la conservation d'une densité et de son courant.

Démonstration

Dans un système invariant par translation, l'opérateur de quantité de mouvement totale P commute avec H, donc d⟨P⟩/dt=0 et la quantité de mouvement est conservée ; dans un atome isolé avec invariance rotationnelle le moment angulaire total J est conservé et caractérise les états propres d'énergie.

Mauvaise application

Qualifier une grandeur de « conservée » dans un système ouvert avec réservoirs, en présence d'une dépendance temporelle explicite H(t), ou en ignorant des flux de frontière dans une équation de continuité est incorrect et conduit à de fausses affirmations de conservation.

Conséquence

Une quantité conservée réduit la complexité dynamique : elle fournit des constantes du mouvement, réduit les degrés de liberté effectifs, impose des règles de sélection et sous-tend des dégénérescences et la stabilité de certains états ou excitations.

Inversion

Une grandeur non conservée ne commute pas nécessairement avec le Hamiltonien et évolue en général dans le temps ; la rupture de la symétrie associée à une quantité conservée entraîne transfert, amortissement ou séparation de la grandeur autrefois préservée.

Limite

La conservation se définit par rapport au système et à la symétrie spécifiés : la conservation exacte vaut pour des systèmes clos avec la symétrie considérée ; une conservation approchée ou émergente peut tenir sur certains intervalles de temps ou régimes limites mais n'est pas absolue.

Tension sémantique

Distinguer « quantité conservée » (opérateur qui commute avec H ou qui satisfait une équation de continuité) d'une simple « constante du mouvement » (valeur temporellement indépendante le long d'une trajectoire particulière) ou d'un scalaire conservé classique ; en quantique il faut préciser les relations de commutateur et les valeurs moyennes.

Synthèse

Une quantité conservée est l'observable quantique associée à une symétrie dont le générateur commute avec le Hamiltonien (ou satisfait une équation de continuité), produisant des valeurs moyennes invariantes dans le temps, réduisant les degrés de liberté dynamiques et générant des règles de sélection et des caractéristiques spectrales protégées.