Una estructura matemática que es a la vez una variedad diferenciable y un grupo, con operaciones de grupo suaves (multiplicación e inversión); los grupos de Lie describen simetrías continuas en física y proporcionan los objetos globales cuyos espacios tangentes en la identidad son álgebras de Lie.

Principio

La combinación de estructura de variedad diferenciable y axiomas de grupo permite usar geometría diferencial para estudiar simetrías: las propiedades locales (infinitesimales) las captura el álgebra de Lie, y el comportamiento global del grupo se obtiene integrando estos generadores infinitesimales.

Demostración

SO(3) es el grupo de Lie de matrices ortogonales reales 3×3 con determinante +1 que describe las rotaciones físicas en el espacio tridimensional; SU(2) es el grupo de Lie de cobertura doble formado por matrices unitarias 2×2 con determinante 1, utilizado para representar espinores.

Aplicación incorrecta

Llamar grupo de Lie a cualquier grupo que carezca de estructura diferenciable (por ejemplo un grupo discreto o un grupo puramente topológico sin cartas suaves), o asumir propiedades globales (como ser simplemente conexo) a partir de datos locales del álgebra de Lie.

Consecuencia

Tener un grupo de Lie permite definir familias continuas de transformaciones de simetría, clasificar representaciones y derivar cantidades conservadas mediante razonamientos tipo Noether cuando el grupo actúa sobre un sistema físico.

Inversión

Centrarse en el grupo algebraico abstracto sin estructura de variedad o considerar solo el álgebra de Lie sin atender la topología global cambia el énfasis entre estructura global e infinitesimal.

Límite

Normalmente se refiere a grupos lisos de dimensión finita; los grupos de dimensión infinita (grupos de gauge, grupos de difeomorfismos) requieren precauciones funcional-analíticas y pueden no comportarse como grupos de Lie de dimensión finita.

Tensión semántica

El grupo como conjunto global de operaciones de simetría frente al álgebra de Lie como espacio de generadores infinitesimales; otra tensión aparece entre la clasificación local (diferencial) y las distinciones topológicas globales (recubrimientos, componentes conexas).

Síntesis

Un grupo de Lie es la encarnación suave y global de una simetría continua: su estructura de variedad permite asociar un álgebra de Lie tangente de generadores cuyas relaciones algebraicas y la aplicación exponencial determinan el comportamiento local y, con frecuencia mediante la topología global, el comportamiento completo de las transformaciones de simetría.