Structure mathématique qui est à la fois une variété différentiable et un groupe, avec des opérations de groupe (multiplication et inversion) lisses ; les groupes de Lie décrivent les symétries continues en physique et fournissent les objets globaux dont l'espace tangent en l'identité est une algèbre de Lie.

Principe

La combinaison de la structure de variété différentiable et des axiomes de groupe permet d'utiliser la géométrie différentielle pour étudier les symétries : les propriétés locales (infinitésimales) sont codées par l'algèbre de Lie, et le comportement global découle de l'intégration de ces générateurs infinitésimaux.

Démonstration

SO(3) est le groupe de Lie des matrices orthogonales réelles 3×3 de déterminant +1 décrivant les rotations physiques dans l'espace tridimensionnel ; SU(2) est le groupe de Lie revêtement double des matrices unitaires 2×2 de déterminant 1 utilisé pour représenter les spineurs.

Mauvaise application

Qualifier de groupe de Lie un groupe qui ne possède pas de structure de variété différentiable (par exemple un groupe discret ou un groupe purement topologique sans cartes lisses), ou supposer des propriétés globales (comme la simplement connexité) à partir des seules données d'algèbre de Lie locales.

Conséquence

La présence d'un groupe de Lie permet de définir des familles continues de transformations de symétrie, de classifier des représentations et de déduire des quantités conservées via un raisonnement de type Noether lorsque le groupe agit sur un système physique.

Inversion

Mettre l'accent sur le groupe algébrique abstrait sans structure de variété (théorie de groupe pure) ou considérer uniquement l'algèbre de Lie sans tenir compte de la topologie globale inverse la priorité entre structure globale et infinitésimale.

Limite

Concerne typiquement des groupes lisses de dimension finie ; les groupes de dimension infinie (groupes de jauge, groupes de difféomorphismes) exigent des précautions fonctionnelles analytiques et peuvent ne pas se comporter comme des groupes de Lie de dimension finie.

Tension sémantique

Le groupe en tant qu'ensemble global d'opérations de symétrie versus l'algèbre de Lie comme espace des générateurs infinitésimaux ; une autre tension apparaît entre la classification locale (différentielle) et les distinctions topologiques globales (revêtements, composantes connexes).

Synthèse

Un groupe de Lie est l'incarnation globale et différentiable d'une symétrie continue : sa structure de variété permet d'associer une algèbre de Lie tangentielle de générateurs dont les relations algébriques et l'application exponentielle déterminent le comportement local et, souvent via la topologie globale, le comportement complet des transformations de symétrie.