Un homomorfismo del grupo de rotaciones SO(3) al grupo de transformaciones lineales de un espacio vectorial o a los operadores unitarios de un espacio de Hilbert que describe cf3mo se transforman los estados fedsicos u observables bajo rotaciones espaciales.

Principio

Las simetredas del espacio ante rotaciones propias se codifican mediante representaciones de grupo: la representacif3n asigna a cada rotacif3n un operador lineal (a menudo unitario) que implementa la rotacif3n en estados y operadores y preserva las relaciones algebraicas de SO(3).

Demostración

En mece1nica cue1ntica no relativista, la representacif3n de spin 1 es la representacif3n tridimensional real ordinaria de SO(3) actuando sobre observables vectoriales; los sistemas de spin 1/2 no admiten una representacif3n lineal de valor fanico de SO(3) pero aparecen como representaciones proyectivas procedentes del recubrimiento doble SU(2), dando un signo menos tras una rotacif3n de 2c0.

Aplicación incorrecta

Tratar a un espinor como un vector y esperar propiedades de transformacif3n iguales conduce a predicciones errf3neas en patrones de interferencia y reglas de seleccif3n.

Consecuencia

Las representaciones correctas de SO(3) organizan los nfameras cue1nticos del momento angular, determinan degeneraciones y reglas de seleccif3n para hamiltonianos invariantes por rotacif3n y fijan cf3mo se transforman los operadores tensores bajo rotacif3n.

Inversión

En lugar de describir cf3mo cambian los estados bajo rotacif3n, se pueden considerar los invariantes bajo SO(3) (escalares) o pasar al grupo de recubrimiento SU(2) para obtener representaciones lineales genuinas para spins semienteros; esta inversif3n subraya la diferencia entre comportamiento de valor fanico y de valor doble.

Límite

Se aplica a rotaciones propias (determinante +1); excluye operaciones impropias como reflexiones (elementos de O(3) fuera de SO(3)). En contextos cue1nticos hay que atender a cuestiones topolf3gicas: algunas representaciones fedsicamente relevantes son proyectivas y se clasifican mediante SU(2).

Tensión semántica

La tensif3n proviene de la diferencia entre la noción algebraica de representacif3n de SO(3) y la pre1ctica fedsica de usar representaciones de SU(2) para describir espines semienteros; ambas tratan la simetreda rotacional pero difieren en unicidad frente a doble valor.

Síntesis

Una representacif3n de SO(3) es la asignacif3n mateme1tica que implementa rotaciones espaciales en espacios de estado u observables; codifica las propiedades geome9tricas cle1sicas y, con la topologeda cue1ntica (grupos de recubrimiento), determina si un sistema se transforma de forma unicada o solo hasta una fase.