Un homomorphisme du groupe de rotations SO(3) vers le groupe des transformations line9aires d'un espace vectoriel ou vers les ope9rateurs unitaires d'un espace de Hilbert, qui de9crit comment les e9tats physiques ou les observables se transforment sous les rotations de l'espace.

Principe

Les syme9tries de l'espace sous les rotations propres sont code9es par des repre9sentations de groupe : la repre9sentation associe e0 chaque rotation un ope9rateur line9aire (souvent unitaire) qui met en oeuvre la rotation sur les e9tats et les ope9rateurs tout en respectant les relations alge9briques de SO(3).

Démonstration

En me9canique quantique non relativiste, la repre9sentation de spin 1 est la repre9sentation tridimensionnelle re9elle ordinaire de SO(3) agissant sur les observables vectorielles ; les syste8mes de spin 1/2 n'admettent pas de repre9sentation line9aire e0 valeur unique de SO(3) mais se manifestent comme des repre9sentations projectives issues du reveateur double SU(2), produisant un signe moins sous une rotation de 2c0.

Mauvaise application

Remplacer un spineur par une repre9sentation vectorielle et s'attendre e0 des proprie9te9s de transformation identiques conduit e0 des pre9dictions errone9es pour les motifs d'interfe9rence et les re8gles de se9lection.

Conséquence

Des repre9sentations correctes de SO(3) organisent les nombres quantiques de moment angulaire, de9terminent les de9ge9ne9rences et les re8gles de se9lection pour les Hamiltoniens invariants par rotation et fixent la manie8re dont les ope9rateurs tensoriaux se transforment sous rotation.

Inversion

Au lieu de de9crire comment les e9tats changent sous rotation, on peut conside9rer les invariants sous SO(3) (scalaires) ou passer au groupe de reveatement SU(2) pour obtenir de vraies repre9sentations line9aires pour les spins demi-entiers ; cette inversion met en lumie8re la distinction entre comportement e0 valeur unique et e0 valeur double.

Limite

S'applique aux rotations propres (de9terminant +1) ; exclut les ope9rations impropres comme les re9flexions (e9le9ments de O(3) hors SO(3)). Dans les contextes quantiques, il faut traiter les questions topologiques : certaines repre9sentations physiquement pertinentes sont projectives et sont classifie9es via SU(2) plutf4t que SO(3).

Tension sémantique

La tension tient e0 la diffe9rence entre la notion alge9brique d'une repre9sentation de SO(3) et la pratique physique d'utiliser les repre9sentations de SU(2) pour de9crire le spin demi-entier ; les deux traitent la syme9trie rotationnelle mais diffe8rent par la valeur unique ou double.

Synthèse

Une repre9sentation de SO(3) est l'affectation mathe9matique qui imple9mente les rotations spatiales sur les espaces d'e9tats ou les observables ; elle encode e0 la fois les proprie9te9s ge9ome9triques classiques des rotations et, une fois combine9e e0 la topologie quantique (groupes de reveatement), de9termine si un syste8me se transforme e0 valeur unique ou seulement e0 une phase pre9signe9e.