La entropía de von Neumann de un estado cuántico ρ es S(ρ) = -Tr(ρ log ρ), un funcional no negativo que generaliza la entropía de Shannon a operadores densidad y cuantifica la mixtitud de un estado. Es cero para estados puros y máxima (log d) para el estado maximamente mixto en un espacio de Hilbert de dimensión d.

Principio

La entropía de von Neumann mide la falta de información o pureza de un estado cuántico, es invariante bajo transformaciones unitarias, cóncava en ρ y cumple desigualdades de subaditividad y fuerte subaditividad que estructuran las correlaciones multipartitas.

Demostración

Para un estado puro ρ=|ψ⟩⟨ψ|, S(ρ)=0. Para el qubit maximamente mezclado ρ=I/2, S(ρ)=1 bit (log base 2). Para la matriz reducida de un par entrelazado, la entropía de von Neumann equivale a la entropía de entrelazamiento de esa partición.

Aplicación incorrecta

Aplicar S(ρ) a operadores no normalizados, olvidar positividad o normalización a traza uno, o equiparar directamente alta entropía con entrelazamiento cuántico (sin contexto) son errores comunes; para estados mixtos deben usarse monotones de entrelazamiento apropiados.

Consecuencia

La entropía de von Neumann sustenta medidas de información cuántica: define información mutua, entropía relativa, límites de energía libre en termodinámica cuántica y es central en leyes de área y en el escalado del entrelazamiento en sistemas muchos-cuerpos.

Inversión

El reverso es un estado puro con S(ρ)=0, que representa conocimiento máximo del estado cuántico y ausencia de mezcla estadística.

Límite

Definida para operadores semidefinidos positivos de traza uno (matrices densidad); operadores con espectro continuo requieren medidas espectrales y cuidado con integrales. El valor numérico depende de la base del logaritmo, que fija las unidades (bits, nats).

Tensión semántica

La entropía de von Neumann guarda paralelo con la entropía de Shannon clásica pero difiere en que depende del estado cuántico y no de una medición particular; coexiste con otras familias de entropías (Rényi, Tsallis) que resaltan tareas operacionales distintas.

Síntesis

La entropía de von Neumann es la generalización cuántica canónica de la entropía de Shannon que cuantifica la mixtitud y el contenido informacional de operadores densidad, obedeciendo propiedades de monotonicidad y subaditividad que gobiernan correlaciones cuánticas y comportamiento termodinámico.