L'entropie de von Neumann d'un état quantique ρ est S(ρ) = -Tr(ρ log ρ), un fonctionnel non négatif qui généralise l'entropie de Shannon aux opérateurs de densité et quantifie la mixtitude d'un état. Elle est nulle pour les états purs et maximale (log d) pour l'état maximally mélangé sur un espace de Hilbert de dimension d.

Principe

L'entropie de von Neumann mesure le manque d'information ou la non pureté d'un état quantique, est invariante par transformations unitaires, concave en ρ, et satisfait les inégalités de sous-additivité et de forte sous-additivité qui organisent les corrélations multipartites.

Démonstration

Pour un état pur ρ=|ψ⟩⟨ψ|, S(ρ)=0. Pour le qubit maximally mélange ρ=I/2, S(ρ)=1 bit (log base 2). Pour la matrice densité réduite d'une paire intriquée, l'entropie de von Neumann est l'entropie d'intrication de cette partition.

Mauvaise application

Appliquer S(ρ) à des opérateurs non normalisés, oublier la positivité ou la normalisation trace-un, ou assimiler directement une forte entropie à de l'intrication quantique (sans contexte) sont des erreurs communes ; pour l'intrication d'états mixtes il faut utiliser des monotones d'intrication adéquats.

Conséquence

L'entropie de von Neumann sous-tend les mesures d'information quantique : elle définit l'information mutuelle, l'entropie relative, des bornes d'énergie libre en thermodynamique quantique, et est centrale pour les lois d'aire et le comportement d'intrication dans les systèmes à plusieurs corps.

Inversion

L'inverse est un état pur avec S(ρ)=0, qui représente une connaissance maximale de l'état quantique et l'absence de mélange statistique.

Limite

Définie pour des opérateurs positifs semi-définis de trace un (matrices densité) ; les opérateurs à spectre continu exigent des mesures spectrales et de la prudence avec les intégrales. La valeur numérique dépend de la base du logarithme, qui fixe les unités (bits, nats).

Tension sémantique

L'entropie de von Neumann est en parallèle avec l'entropie de Shannon classique mais diffère parce qu'elle dépend de l'état quantique et non d'une mesure particulière ; elle coexiste avec d'autres familles d'entropies (Rényi, Tsallis) qui mettent l'accent sur des tâches opérationnelles différentes.

Synthèse

L'entropie de von Neumann est la généralisation quantique canonique de l'entropie de Shannon qui quantifie la mixtitude et le contenu informationnel des opérateurs de densité, obéissant à des propriétés clés de monotonicité et de sous-additivité qui gouvernent les corrélations quantiques et le comportement thermodynamique.