El proceso matemático formal que produce la aproximación semiclasica WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin) de la función de onda al insertar un ansatz exponencial en la ecuación de Schrödinger y expandir en potencias de la constante de Planck para obtener ecuaciones de transporte de orden principal y de órdenes superiores para amplitud y fase.

Principio

Suponer un ansatz semiclasico ψ(x)=A(x) exp(i S(x)/ħ) (o una exponencial real en regiones clásicamente prohibidas), expandir S y A como series asintóticas en ħ, y comparar órdenes en ħ para derivar la ecuación de Hamilton–Jacobi en primer orden y ecuaciones de transporte sucesivas para las correcciones de amplitud.

Demostración

Para una partícula unidimensional con potencial V(x), insertar ψ(x)=exp[(i/ħ)∑_{n≥0} ħ^n S_n(x)] en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. El término O(ħ^0) produce S_0'(x)^2 = 2m(E−V(x)), lo que da el momento clásico local p(x)=S_0'(x), mientras que el término O(ħ^1) determina A(x) mediante A' + (A S_0'')/(2 S_0') = 0, conduciendo a A ∝ 1/√|p(x)| lejos de puntos de giro.

Aplicación incorrecta

Continuar formalmente la expansión WKB a través de un punto de giro sin aplicar fórmulas de conexión ni emparejar con la solución local de la ecuación de Airy produce aproximaciones exponencialmente divergentes o discontinuas y desfases de fase incorrectos, falseando probabilidades de tunelamiento o condiciones de cuantización.

Consecuencia

Derivar correctamente la solución WKB da expresiones semiclasicas explícitas para funciones de onda, amplitudes locales e integrales de fase que conducen a reglas de cuantización (p. ej., Bohr–Sommerfeld) y a los exponentes dominantes del tunelamiento, permitiendo estimaciones analíticas donde no hay soluciones exactas.

Inversión

La perspectiva inversa es partir de soluciones exactas (cuando existan) y demostrar que convergen a las formas WKB en el límite ħ→0; esa inversión aclara el carácter asintótico de la aproximación e identifica términos de corrección mediante el ajuste con resultados exactos.

Límite

Válida en regiones donde el momento clásico p(x)=√{2m(E−V)} varía lentamente y no es nulo frente a su derivada (|p'|≪p^2), y falla en puntos de giro clásicos y para potenciales singulares salvo que se usen aproximaciones uniformes o fórmulas de conexión; no es exacta para números cuánticos pequeños o interferencias cuánticas intensas.

Tensión semántica

Existe tensión entre ver la derivación WKB como una expansión asintótica formal (vista matemática) y como una aproximación semiclasica intuitiva (vista física); reconciliarlas exige controlar la escala de errores y el dominio de validez.

Síntesis

La derivación de la solución WKB es el método asintótico que produce funciones de onda semiclasicas al sustituir un ansatz exponencial fase‑amplitud en la ecuación de Schrödinger y resolver jerárquicamente las ecuaciones resultantes orden por orden en ħ para obtener integrales de fase clásicas y leyes de transporte de amplitud, con tratamiento especial en puntos de giro.