Le processus mathématique formel qui produit l'approximation semiclassique WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin) de la fonction d'onde en insérant un ansatz exponentiel dans l'équation de Schrödinger et en développant en puissances de la constante de Planck pour obtenir des équations de transport d'ordre dominant et d'ordres supérieurs pour l'amplitude et la phase.

Principe

Supposer un ansatz semiclassique ψ(x)=A(x) exp(i S(x)/ħ) (ou une exponentielle réelle dans les régions classiquement interdites), développer S et A en séries asymptotiques en ħ, et identifier les ordres en ħ pour dériver l'équation de Hamilton–Jacobi à l'ordre principal et des équations de transport successives pour les corrections d'amplitude.

Démonstration

Pour une particule unidimensionnelle de potentiel V(x), insérer ψ(x)=exp[(i/ħ)∑_{n≥0} ħ^n S_n(x)] dans l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Le terme O(ħ^0) donne S_0'(x)^2 = 2m(E−V(x)), fournissant la quantité de mouvement classique locale p(x)=S_0'(x), tandis que le terme O(ħ^1) fixe A(x) via A' + (A S_0'')/(2 S_0') = 0, conduisant à A ∝ 1/√|p(x)| loin des points de retournement.

Mauvaise application

Poursuivre formellement le développement WKB à travers un point de retournement sans appliquer de formules de connexion ni d'appariement à la solution locale de l'équation d'Airy induit des approximations exponentiellement divergentes ou discontinues et des décalages de phase incorrects, faussant les probabilités de tunneling ou les conditions de quantification.

Conséquence

Une dérivation correcte de la solution WKB produit des expressions semiclassiques explicites pour les fonctions d'onde, les amplitudes locales et les intégrales de phase, conduisant à des règles de quantification (par ex. Bohr–Sommerfeld) et aux exposants dominants du tunneling, permettant des estimations analytiques quand les solutions exactes font défaut.

Inversion

Le point de vue inverse consiste à partir des solutions exactes (lorsqu'elles existent) et à montrer qu'elles convergent vers les formes WKB lorsque ħ→0 ; cette inversion clarifie le caractère asymptotique de l'approximation et permet d'identifier les termes de correction en effectuant un appariement aux solutions exactes.

Limite

Valide dans les régions où la quantité de mouvement classique p(x)=√{2m(E−V)} varie lentement et est non nulle par rapport à sa dérivée (|p'|≪p^2), et échoue aux points de retournement classiques et pour des potentiels singuliers à moins d'utiliser des approximations uniformes ou de connexion ; non exacte pour de petits nombres quantiques ou des interférences quantiques fortes.

Tension sémantique

La tension sémantique oppose la considération de la dérivation WKB comme un développement asymptotique formel (point de vue mathématique) et comme une approximation semiclassique intuitive (point de vue physique) ; les réconcilier exige attention à l'échelle des erreurs et au domaine de validité.

Synthèse

La dérivation de la solution WKB est la méthode asymptotique produisant des fonctions d'onde semiclassiques en substituant un ansatz phase–amplitude exponentiel dans l'équation de Schrödinger et en résolvant hiérarchiquement les équations d'ordre en ħ pour obtenir des intégrales de phase classiques et des lois de transport d'amplitude, avec un traitement spécial aux points de retournement.