Definición
La aproximación semiclasica a funciones de onda cuánticas y observables relacionadas obtenida al expandir la ecuación de Schrödinger en potencias de ħ y conservar los términos dominantes que codifican la acción clásica y amplitudes de variación lenta; comúnmente llamada aproximación WKB.
Principio
Principio
Sustituir la función de onda exacta por un exponencial de una serie de acción y truncar en el orden dominante (y opcionalmente en el siguiente) en ħ de modo que el comportamiento dominante esté gobernado por la dinámica Hamilton–Jacobi clásica y la amplitud quede determinada por la conservación del flujo de probabilidad.
Demostración
Demostración
En una región donde E>V(x), la aproximación WKB da ψ(x) ≈ C /√{p(x)} exp[(i/ħ)∫^x p(x') dx'] con p(x)=√{2m(E−V(x))}. Esto reproduce el comportamiento oscilatorio semiclasico, mientras que en regiones clásicamente prohibidas la solución se vuelve exponencialmente decreciente con la fase reemplazada por una acción real.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Aplicar la aproximación WKB uniformemente a través de un punto de giro sin usar aproximaciones uniformes tipo Airy o fórmulas de conexión conduce a amplitudes y fases incorrectas; asimismo, truncar en orden dominante cerca de regiones de rápida variación o fuertemente cuánticas da predicciones cualitativamente erróneas.
Consecuencia
Consecuencia
La aproximación WKB proporciona expresiones analíticas compactas para autofunciones, exponentes de tunelamiento y reglas de cuantización útiles para intuición y estimaciones; da la escala dominante con ħ e identifica los caminos clásicos dominantes que contribuyen al comportamiento cuántico.
Inversión
Inversión
La inversión es reconocer resultados cuánticos exactos (p. ej., potenciales resolubles) y expandirlos en ħ para revelar la estructura WKB y los términos de corrección; esto expone las limitaciones de la aproximación y permite generar mejoras sistemáticas.
Límite
Límite
La aproximación es válida cuando la longitud de onda de de Broglie varía lentamente: |dλ/dx|≪1 o equivalentemente |p'|≪p^2. Falla en puntos de giro, para números cuánticos pequeños, para potenciales con discontinuidades o comportamiento singular, y cuando la interferencia entre múltiples caminos clásicos es esencial sin tratamiento uniforme.
Tensión semántica
Tensión semántica
Existe tensión entre llamar WKB una 'aproximación' (énfasis en inexactitud y correcciones) y una 'método' (énfasis en utilidad y refinamiento sistemático); ambas son verdaderas: es una aproximación asintótica con posibilidad de extensión sistemática pero con error finito en escenarios prácticos.
Síntesis
Síntesis
La aproximación de la solución WKB es la descripción semiclasica de orden dominante de las funciones de onda cuánticas formada por un ansatz exponencial de acción y una ley de transporte de amplitud que captura la acumulación de fase clásica y la conservación local del flujo, válida donde el momento clásico varía lentamente y corregible mediante aproximaciones uniformes o términos de orden superior.