L'approximation semiclassique des fonctions d'onde quantiques et des observables associées obtenue en développant l'équation de Schrödinger en puissances de ħ et en conservant les termes dominants qui codent l'action classique et des amplitudes à variation lente ; communément appelée approximation WKB.

Principe

Remplacer la fonction d'onde exacte par un exponentiel d'une série d'action et tronquer à l'ordre dominant (et éventuellement au suivant) en ħ de sorte que le comportement dominant soit gouverné par la dynamique Hamilton–Jacobi classique et que l'amplitude soit déterminée par la conservation du flux de probabilité.

Démonstration

Dans une région où E>V(x), l'approximation WKB donne ψ(x) ≈ C /√{p(x)} exp[(i/ħ)∫^x p(x') dx'] avec p(x)=√{2m(E−V(x))}. Ceci reproduit le comportement oscillatoire semiclassique, tandis que dans les régions classiquement interdites la solution devient exponentiellement décroissante avec la phase remplacée par une action réelle.

Mauvaise application

Appliquer l'approximation WKB uniformément à travers un point de retournement sans utiliser d'approximations uniformes de type Airy ou de formules de connexion conduit à des amplitudes et phases incorrectes ; de même, tronquer à l'ordre dominant près de régions à variation rapide ou fortement quantiques donne des prédictions qualitativement erronées.

Conséquence

L'approximation WKB fournit des expressions analytiques compactes pour fonctions propres, exposants de tunneling et règles de quantification utiles pour l'intuition et les estimations ; elle donne l'échelle dominante en ħ et identifie les trajectoires classiques dominantes contribuant au comportement quantique.

Inversion

L'inversion consiste à reconnaître des résultats quantiques exacts (par ex. potentiels solubles) et à les développer en ħ pour révéler la structure WKB et les termes de correction ; cela met en évidence les limites de l'approximation et permet de générer systématiquement des termes d'amélioration.

Limite

L'approximation est valide lorsque la longueur d'onde de de Broglie varie lentement : |dλ/dx|≪1 ou équivalemment |p'|≪p^2. Elle échoue aux points de retournement, pour de petits nombres quantiques, pour des potentiels avec discontinuités ou comportements singuliers, et lorsque l'interférence entre plusieurs trajectoires classiques est essentielle sans traitement uniforme.

Tension sémantique

Il existe une tension entre qualifier WKB d'« approximation » (insistant sur l'inexactitude et les corrections) et d'« méthode » (insistant sur l'utilité et le raffinement systématique) ; les deux sont vraies : il s'agit d'une approximation asymptotique susceptible d'extensions systématiques mais comportant une erreur finie en pratique.

Synthèse

L'approximation de la solution WKB est la description semiclassique d'ordre dominant des fonctions d'onde quantiques formée par un ansatz exponentiel d'action et une loi de transport d'amplitude qui capture l'accumulation de phase classique et la conservation locale du flux, valable lorsque la quantité de mouvement classique varie lentement et corrigée par des termes uniformes ou d'ordre supérieur près des régions singulières.