El conjunto de requisitos físicos impuestos a las soluciones radiales por ondas parciales de la ecuación de Schrödinger: regularidad en el origen (o comportamiento adecuado en singularidades) y el comportamiento asintótico prescrito a gran radio que corresponde a condiciones de entrada, salida o estados ligados, usado para determinar desplazamientos de fase y elementos de la matriz S.

Principio

Hacer cumplir la regularidad matemática donde el potencial o la geometría lo exigen (para potenciales centrales u_l(r) ~ r^{l+1} cerca de r=0) e imponer las asintóticas físicas de dispersión o de estado ligado en el infinito (superposición de ondas esféricas libres con desplazamientos de fase, o soluciones decrecientes para estados ligados).

Demostración

Para dispersión elástica por un potencial central de corto alcance, integrar la ecuación radial desde el origen con una condición regular y emparejar a gran r con la combinación j_l(kr)cos δ_l - n_l(kr)sin δ_l (o asintóticamente sin(kr - lπ/2 + δ_l)) para extraer el desplazamiento de fase δ_l.

Aplicación incorrecta

Imponer condiciones puramente salientes en todas las distancias cuando el problema físico requiere una componente entrante (por ejemplo usar solo funciones de Hankel de primer tipo), lo que conduce a soluciones no físicas y viola la unitariedad en configuraciones de dispersión estándar.

Consecuencia

La imposición correcta produce desplazamientos de fase únicos y una matriz S unitaria para dispersión elástica, asegura soluciones normalizables de estados ligados cuando proceda, y proporciona integración numérica estable al fijar el comportamiento en los extremos de la integración.

Inversión

Sustituir las condiciones asintóticas de dispersión por condiciones de contorno periódicas (cuantización en caja) convierte el espectro continuo de dispersión en un conjunto discreto de valores de k permitidos y altera la interpretación de los desplazamientos de fase y los elementos de la matriz S.

Límite

Se aplica a problemas donde la separación radial es válida y se conocen las singularidades del potencial; debe modificarse para potenciales de largo alcance (Coulomb exige funciones de fase coulombianas), para problemas de canales acoplados con asintóticas específicas por canal y en presencia de topología no trivial o traslaciones magnéticas.

Tensión semántica

Existe tensión entre imponer condiciones de contorno en formulaciones diferenciales (EDO radial) frente a integrales (Lippmann-Schwinger): el mismo estado de dispersión físico puede imponerse bien por condiciones asintóticas en el espacio real, bien por la selección de la rama apropiada de la función de Green en ecuaciones integrales.

Síntesis

Las Condiciones de Contorno del Análisis por Ondas Parciales son la combinación de requisitos locales de regularidad y prescripciones asintóticas de campo lejano que seleccionan de forma única las soluciones por ondas parciales físicamente aceptables; adaptadas a la extensión y estructura de canales del potencial, determinan desplazamientos de fase y elementos de la matriz S.