L'ensemble des exigences physiques imposées aux solutions radiales en ondes partielles de l'équation de Schrödinger : régularité à l'origine (ou comportement adapté aux singularités) et comportement asymptotique prescrit à grande distance correspondant aux conditions d'ondes entrantes, sortantes ou d'états liés, utilisé pour déterminer les décalages de phase et les éléments de la matrice S.

Principe

Imposer la régularité mathématique là où le potentiel ou la géométrie l'exigent (pour des potentiels centraux u_l(r) ~ r^{l+1} près de r=0) et imposer les asymptotiques physiques de diffusion ou d'état lié à l'infini (superposition d'ondes sphériques libres avec décalages de phase, ou solutions décroissantes pour les états liés).

Démonstration

Pour la diffusion élastique par un potentiel central de courte portée, intégrer l'équation radiale depuis l'origine avec une condition régulière et effectuer l'appariement à grande r avec la combinaison j_l(kr)cos δ_l - n_l(kr)sin δ_l (ou asymptotiquement sin(kr - lπ/2 + δ_l)) pour extraire le décalage de phase δ_l.

Mauvaise application

Imposer des conditions purement sortantes à toutes les distances alors que le problème physique exige une composante d'onde entrante (par exemple n'utiliser que les fonctions de Hankel du premier type), ce qui produit des solutions non physiques et viole l'unitarité pour les configurations de diffusion standard.

Conséquence

Une application correcte donne des décalages de phase uniques et une matrice S unitaire pour la diffusion élastique, garantit des solutions d'états liés normalisables lorsque cela est pertinent, et assure une intégration numérique stable en fixant le comportement aux bornes d'intégration.

Inversion

Remplacer les conditions asymptotiques de diffusion par des conditions aux limites périodiques (quantification en boîte) convertit le spectre continu de diffusion en un ensemble discret de valeurs de k autorisées et modifie l'interprétation des décalages de phase et des éléments de la matrice S.

Limite

S'applique aux problèmes où la séparation radiale est valide et où les singularités du potentiel sont connues ; doit être modifiée pour les potentiels à longue portée (Coulomb exige des fonctions de phase coulombiennes), pour les problèmes à canaux couplés avec asymptotiques propres à chaque canal, et en présence de topologie non triviale ou de translations magnétiques.

Tension sémantique

Tension entre l'imposition des conditions aux limites dans les formulations différentielles (EDO radiale) et intégrales (Lippmann-Schwinger) : le même état de diffusion physique peut être imposé soit par des conditions asymptotiques en espace réel, soit par le choix de la branche de la fonction de Green dans les équations intégrales.

Synthèse

Les Conditions aux Limites de l'Analyse en Ondes Partielles sont l'association de la régularité locale et des prescriptions asymptotiques lointaines qui sélectionnent de façon unique les solutions d'ondes partielles physiquement acceptables ; elles déterminent les décalages de phase et les éléments de la matrice S lorsqu'elles sont adaptées à la portée et à la structure des canaux du potentiel.