L'espace de Fock est la somme directe des espaces de Hilbert à N particules pour tous les N (y compris N = 0), organisés en secteurs de nombre de particules et munis d'opérateurs de création et d'annihilation qui ajoutent ou retirent des particules ; il fournit un formalisme pour les systèmes quantiques à nombre variable de particules et la seconde quantification.

Principe

La seconde quantification représente les états à plusieurs corps dans le langage des nombres d'occupation : l'espace de Fock découpe la théorie en secteurs de nombre de particules défini et encode l'indiscernabilité et la symétrie d'échange en choisissant des relations de (anti)commutation pour les opérateurs de création/annihilation selon qu'il s'agit de bosons ou de fermions.

Démonstration

Les états de Fock des photons |n⟩ décrivent n photons dans un mode donné ; l'espace de Fock électronique contient des secteurs antisymétriques construits par des opérateurs de création fermioniques agissant sur le vide, permettant une description concise des processus changeant le nombre de particules, comme l'émission et l'absorption.

Mauvaise application

Considérer l'espace de Fock comme équivalent à un espace de Hilbert à N fixé ou ignorer les règles de superselection (p. ex. conservation de la charge) qui interdisent des superpositions entre certains secteurs de nombre de particules peut conduire à des conclusions non physiques concernant les états et opérations permis.

Conséquence

L'utilisation de l'espace de Fock et de la seconde quantification simplifie les calculs à plusieurs corps, permet une représentation compacte des processus de création/annihilation, et constitue la base de la théorie quantique des champs, de la perturbation à plusieurs corps et des méthodes numériques en représentation d'occupation.

Inversion

Une description dans un espace de Hilbert à N fixe conserve le nombre de particules et traite la symétrie d'échange par (anti)symétrisation explicite dans ce secteur ; l'espace de Fock généralise cela pour permettre des superpositions et transitions entre différents secteurs N quand cela est physiquement permis.

Limite

La construction de l'espace de Fock exige la spécification de la base mono-particule et des statistiques (bosoniques ou fermioniques) des opérateurs de création/annihilation ; elle ne résout pas en soi les questions d'interactions, de renormalisation ou de troncature pratique des secteurs infinis en calcul.

Tension sémantique

L'espace de Fock comme somme directe mathématique versus comme cadre physiquement privilégié : formellement on peut choisir différentes bases mono-particule donnant des espaces de Fock isomorphes, mais en pratique le choix de base, les conditions aux limites et les charges conservées rendent certaines constructions de Fock plus significatives physiquement.

Synthèse

L'espace de Fock est le cadre en nombres d'occupation formé par la somme directe de tous les espaces de Hilbert à N particules, avec des opérateurs de création et d'annihilation codant l'ajout/retrait de particules et des règles de (anti)commutation imposant les statistiques ; c'est le formalisme standard pour les théories quantiques à nombre variable de particules.