L'observable quantique correspondant à la coordonnée y, représenté par l'opérateur de multiplication ŷ qui agit sur les fonctions d'onde en espace de position en multipliant par y.

Principe

Dans la représentation de position, l'opérateur de position Y ŷ est hermitien, commute avec les autres composantes de position et satisfait la relation de commutation canonique [ŷ, p̂_y] = iħ avec sa quantité de mouvement conjuguée, fondant la relation d'incertitude y–p_y.

Démonstration

Sur une fonction d'onde ψ(x,y,z), l'opérateur agit comme (ŷψ)(x,y,z) = y ψ(x,y,z) ; une mesure projective de y échantillonne la probabilité marginale |ψ(x,y,z)|^2 sur x et z pour donner une issue en y et projette l'état sur un paquet localisé en y.

Mauvaise application

Supposer que des états propres |y⟩ exacts et normalisables existent comme états physiques, ou négliger que la connaissance précise de y augmente l'incertitude sur p_y ; omettre les questions de domaine pour des opérateurs non bornés peut conduire à des manipulations mathématiquement inconsistantes.

Conséquence

Une mesure de position en y localise le système en y dans la résolution expérimentale et accroît l'incertitude sur p_y ; les opérateurs impliquant ŷ suivent les propriétés spectrales et de domaine des opérateurs de multiplication sur les fonctions de l'espace de configuration.

Inversion

Comparer la mesure de y avec la mesure de l'impulsion conjuguée p_y, qui produit un état propre en onde plane délocalisé en y mais précis en impulsion ; des mesures faibles de y fournissent une information partielle sans effondrement complet.

Limite

Valable en mécanique quantique non relativiste pour un ou quelques particules dans un espace de configuration continu ; dans des modèles sur réseau, en théorie quantique des champs relativiste ou pour des coordonnées du centre de masse, la notion de ŷ requiert une adaptation.

Tension sémantique

Confronte la vision de la coordonnée comme étiquette : opérationnellement ŷ est un observable produisant statistiques de mesure et effondrement, mais ses états propres idéaux sont des distributions et non des états normalisables physiques.

Synthèse

L'opérateur de position Y est l'opérateur hermitien de multiplication par y dans la représentation de position : il détermine les statistiques de mesure en y |ψ(y)|^2 (marginalisées sur les autres coordonnées), satisfait la commutation canonique avec p_y et impose le compromis entre localisation en y et dispersion en impulsion.