Une prescription de contraintes imposées à l'opérateur densité aux frontières temporelles ou spatiales d'un problème d'évolution quantique, choisie de sorte que l'équation d'évolution (fermée ou ouverte) admette des solutions physiquement valides préservant la trace, l'hermiticité et la positivité.

Principe

Les conditions aux limites restreignent les solutions autorisées de l'équation maîtresse ou de l'équation de Schrödinger à celles compatibles avec l'espace des états physiques et les contraintes expérimentales ou de symétrie ; elles visent à assurer un problème bien posé et à imposer les lois de conservation et la positivité complète lorsque nécessaire.

Démonstration

Pour un système ouvert gouverné par une équation de Lindblad, on peut imposer qu'à t → ∞ la matrice de densité tende vers un état stationnaire thermique unique. Dans un problème de diffusion, on peut exiger que la matrice de densité corresponde à des états entrants purs en passé asymptotique tout en satisfaisant des conditions de flux sortant au futur.

Mauvaise application

Imposer à la frontière une matrice arbitraire non semi-définie positive ou violant la normalisation de la trace (par exemple fixer indépendamment des phases hors-diagonales) engendre des états évolués non physiques ou des contraintes incompatibles rendant l'évolution mal posée.

Conséquence

Des conditions aux limites appropriées garantissent l'existence et l'unicité des solutions dans l'espace d'états physiques, permettent de déterminer des états stationnaires ou des amplitudes de diffusion, et empêchent l'apparition de populations négatives ou la perte d'hermiticité lors de l'intégration.

Inversion

Si aucune condition aux limites physique n'est spécifiée (ou si des conditions inconsistantes sont appliquées), les mêmes équations d'évolution autorisent des solutions non physiques : applications changeant la trace, valeurs propres négatives de la matrice de densité ou évolution non unique.

Limite

S'applique aux formulations dépendantes du temps et de l'espace de la dynamique quantique pour systèmes fermés et ouverts ; exclut les choix de conditions limites purement formels qui ne respectent pas la positivité ou les contraintes de préparation expérimentale. Ne remplace pas la spécification de la condition initiale quand celle-ci est traitée séparément.

Tension sémantique

Tension entre des conditions aux limites mathématiquement commodes (par ex. périodiques ou de Dirichlet) et des conditions motivées opérationnellement (états préparés, réservoirs stationnaires) ; tension aussi entre imposer un état stationnaire asymptotique ou spécifier complètement les données transitoires initiales.

Synthèse

Les conditions aux limites pour l'évolution de la matrice de densité sont les prescriptions, limitées par la physique, aux bords temporels ou spatiaux qui, conjointement avec le générateur de la dynamique, déterminent la trajectoire physique admissible unique ou l'état stationnaire en imposant positivité, trace et contraintes expérimentales ou de symétrie.