Das zweite zentrale Moment der Ergebnisverteilung eines selbstadjungierten Observablen in einem gegebenen Zustand, definiert als Var(A) = - ^2, das die Streuung möglicher Messergebnisse quantifiziert.

Prinzip

Varianz misst die erwartete quadrierte Abweichung vom Mittelwert und ist nichtnegativ; in der Quantenmechanik erfasst sie intrinsische quantenmechanische Fluktuationen sowie Beiträge aus klassischen Mischungen und unterliegt Relationen, die von der Operatoralgebra abhängen.

Demonstration

Für ein Spin-1/2 im Zustand |↑_z> gilt Var(sigma_z) = - ^2 = 1 - 1^2 = 0, während in der gleichgewichteten Überlagerung (|↑>+|↓>)/√2 Var(sigma_z) = 1 - 0^2 = 1.

Fehlanwendung

Var(A) für nichtselbstadjungierte Operatoren zu verwenden, ohne die entsprechenden hermiteschen Komponenten anzugeben, oder Domänenprobleme bei unbeschränkten Operatoren beim Berechnen von zu ignorieren.

Konsequenz

Richtige Berechnung ergibt die Größe, die in Unsicherheitsrelationen, Fluktuations-Response-Relationen und Fehlerabschätzungen für wiederholte Messungen auftaucht; sie legt die Skala für die Standardabweichung und das Ausmaß quantenmechanischen Rauschens fest.

Umkehrung

Das Gegenteil besteht darin, nur Mittelwerte oder deterministische Näherungen zu betrachten: die Varianz auf null zu setzen reduziert probabilistische Vorhersagen zu deterministischen und vernichtet Informationen über Fluktuationen.

Abgrenzung

Definiert, wenn sowohl als auch für den Zustand existieren; gilt für selbstadjungierte Observablen und nicht direkt für komplexe weak values oder nichtselbstadjungierte Messelemente, sofern diese nicht in hermitesche Teile zerlegt werden.

Semantische Spannung

Varianz wird manchmal mit Unschärfe oder experimentellem Fehler verwechselt; im Unterschied zum experimentellen Fehler ist die Varianz eine Eigenschaft des Zustands-Observable-Paares und beinhaltet intrinsische quantenmechanische Streuung unabhängig von Messungenauigkeit.

Synthese

Die Varianz ist das zustandsabhängige zweite zentrale Moment eines Observablen und liefert eine formale Messung, wie weit Messergebnisse vom Mittelwert abweichen; sie ist die Grundlage der Unsicherheitsquantifizierung in der Quantenmechanik.