Die nichtnegative Funktion ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2, die die Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit angibt, ein Quantenteilchen zur Position x und Zeit t im Ortsraum zu finden; allgemein die Diagonale eines Dichtungsoperators in einer gewählten Basis.

Prinzip

Bornsche Regel: Der Betragquadrat der Wellenfunktion (oder das diagonale Matrixelement des Dichtungsoperators) liefert Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse in der zugehörigen Basis.

Demonstration

Für ein durch ψ(x,t) beschriebenes Teilchen ist die Wahrscheinlichkeit, es in Gebiet R zu finden, P(R,t)=∫_R |ψ(x,t)|^2 dx. Beispiel: Bei einer normierten Gaußkurve mit Zentrum x0 und Breite σ beträgt die Wahrscheinlichkeit innerhalb ±σ ungefähr erf(1/√2)≈0,68.

Fehlanwendung

ψ(x,t) selbst als Wahrscheinlichkeit zu deuten oder |ψ|^2 für inkompatible Observablen zu verwenden (z. B. Ortsdichte als Impulsdichte zu behandeln ohne Zustandsumrechnung) führt zu falschen Ergebnissen; negative Werte für ρ sind nicht zulässig.

Konsequenz

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ermöglicht Rechnung von Erwartungswerten, Varianzen und Übergangswahrscheinlichkeiten; die Normierung von ρ stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeiten zu eins aufsummiert werden und stützt statistische Vorhersagen.

Umkehrung

Das komplementäre Konzept ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ: während ρ reell und nichtnegativ ist, trägt ψ die Phaseninformation, die für Ströme und Interferenz notwendig ist; Vernachlässigung dieser Information verliert dynamische Details.

Abgrenzung

Gilt für Ortsmessungen und diagonale Elemente von Dichtungsoperatoren in beliebigen orthonormierten Basen; schließt quasawahrscheinlichkeiten (z. B. Wigner-Funktion), die negativ sein können, und distributionelle Objekte, die keine echten Wahrscheinlichkeitsdichten sind, aus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der direkt messbaren Wahrscheinlichkeitsdichte und formalen Dichten aus verallgemeinerten Eigenzuständen oder Distributionen; auch Spannung zwischen Ensemble-Interpretation (Frequenz) und Einzelfall-Perspektive.

Synthese

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die Bornschen Regel folgende Abbildung von Quantenzuständen in reelle nichtnegative Dichten in einer Basis: sie liefert messbare Wahrscheinlichkeiten, muss für kontinuierliche Spektren angemessen interpretiert werden und ergänzt die Amplitude, welche Phase und Interferenz enthält.