Fonction réelle non négative ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2 donnant la probabilité par unité de volume de trouver une particule quantique en x au temps t dans la représentation de position ; plus généralement, le diagonal d'un opérateur densité dans une base donnée.

Principe

Règle de Born : le module au carré de la fonction d'onde (ou l'élément diagonal de l'opérateur densité) fournit les probabilités des issues de mesure dans la base associée.

Démonstration

Pour une particule décrite par ψ(x,t), la probabilité de la trouver dans la région R est P(R,t)=∫_R |ψ(x,t)|^2 dx. Exemple : pour une gaussienne normalisée centrée en x0 et de largeur σ, la probabilité dans ±σ vaut erf(1/√2)≈0,68.

Mauvaise application

Interpréter ψ(x,t) lui-même comme une probabilité ou utiliser |ψ|^2 pour des observables incompatibles (par exemple traiter la densité de position comme densité de moment sans transformer l'état) conduit à des erreurs ; attribuer des valeurs négatives à ρ est invalide.

Conséquence

La densité permet de calculer valeurs moyennes, variances et probabilités de transition ; la normalisation de ρ garantit que les probabilités s'additionnent à un et permet des prédictions statistiques.

Inversion

Le concept complémentaire est l'amplitude de probabilité ψ : tandis que ρ est réelle et non négative, ψ porte l'information de phase nécessaire au calcul des courants et interférences ; ignorer phase et amplitude fait perdre l'information dynamique.

Limite

S'applique aux mesures en espace de position et aux éléments diagonaux d'opérateurs densité dans toute base orthonormée ; exclut les distributions quasi-probabilistes (comme Wigner) qui peuvent être négatives et les objets distributionnels qui ne sont pas de véritables densités de probabilité.

Tension sémantique

Tension entre la densité de probabilité en tant que distribution mesurable directement et des densités formelles obtenues à partir d'états propres généralisés ou distributions ; tension aussi entre interprétations en termes d'ensemble (fréquence) et événements uniques.

Synthèse

La densité de probabilité est la traduction par la règle de Born des états quantiques en densités réelles non négatives dans une base : elle fournit des probabilités mesurables, doit être normalisée ou interprétée pour les spectres continus, et complète l'amplitude qui encode phase et interférence.