La función no negativa ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2 que da la probabilidad por unidad de volumen de encontrar una partícula cuántica en la posición x y tiempo t en la representación de posición; más generalmente, la diagonal de un operador densidad en una base dada.

Principio

Regla de Born: el módulo al cuadrado de la función de onda (o el elemento diagonal del operador densidad) proporciona las probabilidades de los resultados de medida en la base asociada.

Demostración

Para una partícula descrita por ψ(x,t), la probabilidad de encontrarla en la región R es P(R,t)=∫_R |ψ(x,t)|^2 dx. Ejemplo: para una gaussiana normalizada centrada en x0 con ancho σ, la probabilidad dentro de ±σ es erf(1/√2)≈0,68.

Aplicación incorrecta

Interpretar ψ(x,t) como probabilidad o usar |ψ|^2 para observables incompatibles (por ejemplo, tratar la densidad de posición como densidad de momento sin transformar el estado) conduce a errores; asignar valores negativos a ρ es inválido.

Consecuencia

La densidad de probabilidad permite calcular valores esperados, varianzas y probabilidades de transición; la normalización de ρ asegura que las probabilidades sumen uno y sustenta predicciones estadísticas.

Inversión

El concepto complementario es la amplitud de probabilidad ψ: mientras ρ es real y no negativa, ψ contiene la información de fase necesaria para calcular corrientes e interferencias; ignorar amplitud y fase pierde información dinámica.

Límite

Se aplica a medidas en espacio de posición y a elementos diagonales de operadores densidad en cualquier base ortonormal; excluye distribuciones cuasiprobabilísticas (como la función de Wigner) que pueden ser negativas y objetos distribucionales que no son verdaderas densidades de probabilidad.

Tensión semántica

Tensión entre la densidad de probabilidad como distribución directamente medible y densidades formales obtenidas de autoestados generalizados o distribuciones; también tensión entre interpretaciones de conjunto (frecuencia) y de evento único.

Síntesis

La densidad de probabilidad es la aplicación de la regla de Born que transforma estados cuánticos en densidades reales no negativas en una base: proporciona probabilidades medibles, requiere normalización o interpretación en espectros continuos y complementa a la amplitud que codifica fase e interferencia.