Ein Skalar λ, sodass es zu einem linearen Operator A auf einem Vektorraum (oder Hilbertraum in der Quantenmechanik) einen nicht verschwindenden Vektor v gibt mit A v = λ v; in der Quantenmechanik sind Eigenwerte hermitescher Observablen die möglichen Messergebnisse.

Prinzip

Eigenwerte sind die spektralen Skalare, die beschreiben, wie ein Operator bestimmte Richtungen (Eigenvektoren) streckt oder skaliert und in Bezug auf Observablen die quantisierten Werte bestimmen, die gemessen werden können.

Demonstration

Für den Hamiltonoperator H eines eindimensionalen unendlichen Potentialkastens löst H ψ_n = E_n ψ_n und erhält diskrete Eigenwerte E_n = (n^2 π^2 ħ^2)/(2mL^2), die den erlaubten Energie-Messergebnissen entsprechen.

Fehlanwendung

Jede algebraische Nullstelle des charakteristischen Polynoms einer endlichen Matrix ohne Prüfung von Definitionsbereich und Selbstadjungiertheit auf einen physikalisch sinnvollen Eigenwert für unbeschränkte Operatoren zu übertragen, kann zu nicht-physikalischen Spektralwerten führen.

Konsequenz

Wenn für eine selbstadjungierte Observable korrekt bestimmt, legen Eigenwerte die möglichen Ergebnisse projektiver Messungen fest und treten in Spektralzerlegungen und Übergangswahrscheinlichkeiten auf.

Umkehrung

Die umgekehrte Sichtweise, die Menge der Eigenwerte als primär anzusehen und daraus die Operatorstruktur zu rekonstruieren, übersieht die geometrische Information der Eigenvektoren.

Abgrenzung

Gilt für lineare Operatoren; in unendlichdimensionalen Hilberträumen ist zwischen dem Punktespektrum (echten Eigenwerten), dem kontinuierlichen und dem residuellen Spektrum zu unterscheiden und Selbstadjungiertheit/Definitionbereich für physikalische Observablen vorauszusetzen.

Semantische Spannung

Unterscheidet sich von der rein algebraischen Bedeutung einer Nullstelle des charakteristischen Polynoms durch funktionalanalytische Anforderungen — eine algebraische Nullstelle muss kein zulässiger Eigenwert eines unbeschränkten Quantenoperators sein.

Synthese

Ein Eigenwert ist das skalare Kennzeichen einer Richtung, in der ein Operator durch einfache Skalierung wirkt; in der Quantenmechanik sind diese Skalare die messbaren Werte selbstadjungierter Observablen, mit spektralen Feinheiten in unendlichen Dimensionen.