Un scalaire λ tel que, pour un opérateur linéaire A sur un espace vectoriel (ou espace de Hilbert en mécanique quantique), il existe un vecteur non nul v vérifiant A v = λ v ; en mécanique quantique, les valeurs propres d'un opérateur hermitien représentant une observable sont les résultats possibles de mesure.

Principe

Les valeurs propres sont les scalaires spectraux qui caractérisent la manière dont un opérateur étire ou met à l'échelle certaines directions (vecteurs propres) et, pour les observables, codent les grandeurs quantifiées accessibles par mesure.

Démonstration

Pour l'hamiltonien H d'une boîte infinie unidimensionnelle, résoudre H ψ_n = E_n ψ_n donne des valeurs propres discrètes E_n = (n^2 π^2 ħ^2)/(2mL^2) correspondant aux énergies mesurables autorisées.

Mauvaise application

Considérer toute racine du polynôme caractéristique d'une matrice finie comme valeur propre physiquement significative dans un contexte d'opérateur à dimension infinie, sans vérifier le domaine et l'auto-adjonction, peut conduire à identifier des valeurs spectrales non physiques.

Conséquence

Lorsqu'elles sont correctement identifiées pour une observable auto-adjointe, les valeurs propres fixent les résultats possibles d'une mesure projective et interviennent dans les décompositions spectrales et les probabilités de transition.

Inversion

La vue inverse consiste à prendre l'ensemble des valeurs propres comme primaire et à en déduire la structure de l'opérateur ; inverser ainsi la perspective peut masquer le contenu géométrique fourni par les vecteurs propres.

Limite

S'applique aux opérateurs linéaires ; dans les espaces de Hilbert de dimension infinie il faut distinguer le spectre ponctuel (vraies valeurs propres) du spectre continu ou résiduel et exiger des conditions de domaine/auto-adjonction pour les observables physiques.

Tension sémantique

Se distingue de la notion algébrique de « racine du polynôme caractéristique » par des exigences en analyse fonctionnelle — une racine algébrique n'est pas nécessairement une valeur propre admissible d'un opérateur quantique non borné.

Synthèse

Une valeur propre est l'étiquette scalaire d'une direction sur laquelle un opérateur agit par simple mise à l'échelle ; en mécanique quantique ces scalaires sont les grandeurs mesurables associées aux observables auto-adjointes, avec des subtilités spectrales en dimensions infinies.