Un escalar λ tal que, para un operador lineal A en un espacio vectorial (o espacio de Hilbert en mecánica cuántica), existe un vector no nulo v con A v = λ v; en mecánica cuántica los valores propios de un operador hermítico que representa una observable son los posibles resultados de medida.

Principio

Los valores propios son los escalares espectrales que describen cómo un operador estira o escala direcciones particulares (vectores propios) y, para observables, codifican las cantidades cuantizadas accesibles por medición.

Demostración

Para el hamiltoniano H de un pozo infinito unidimensional, resolver H ψ_n = E_n ψ_n da valores propios discretos E_n = (n^2 π^2 ħ^2)/(2mL^2) que corresponden a las energías medibles permitidas.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier raíz del polinomio característico de una matriz finita como un valor propio físicamente relevante en un contexto de operadores de dimensión infinita sin comprobar dominio y autoadjunción puede identificar valores espectrales no físicos.

Consecuencia

Cuando se identifican correctamente para una observable autoadjunta, los valores propios determinan los posibles resultados de mediciones proyectivas e intervienen en las descomposiciones espectrales y probabilidades de transición.

Inversión

La postura inversa es considerar primario al conjunto de valores propios y deducir la estructura del operador; invertir esa perspectiva puede ocultar la información geométrica que aportan los vectores propios.

Límite

Aplica a operadores lineales; en espacios de Hilbert de dimensión infinita hay que distinguir espectro puntual (verdaderos valores propios) de espectro continuo o residual y exigir condiciones de dominio/autoadjunción para las observables físicas.

Tensión semántica

Se distingue de la noción algebraica de 'raíz del polinomio característico' por requisitos de análisis funcional: una raíz algebraica no tiene por qué ser un valor propio admisible de un operador cuántico no acotado.

Síntesis

Un valor propio es la etiqueta escalar de una dirección sobre la que un operador actúa por simple escalado; en mecánica cuántica esos escalares son las magnitudes medibles asociadas a observables autoadjuntas, con sutilezas espectrales en dimensiones infinitas.