Ein nichtverschwindender Vektor v, für den ein linearer Operator A ein A v = λ v für ein Skalar λ erfüllt; in der Quantenmechanik entspricht ein Eigenvektor eines Observablenoperators einem Zustand, der bei Messung einen eindeutigen Wert (Eigenwert) liefert.

Prinzip

Eigenvektoren identifizieren invariante Richtungen eines Operators: der Operator wirkt auf diese Vektoren durch Skalierung statt Durchmischung und bietet so eine natürliche Basis zur Beschreibung von Messergebnissen und dynamischen Invarianten.

Demonstration

Für die Pauli-Matrix σ_z (Spin 1/2) sind die Vektoren |↑⟩ = (1,0)^T und |↓⟩ = (0,1)^T Eigenvektoren mit Eigenwerten +1 bzw. -1; wird das System in |↑⟩ vorbereitet, ergibt eine σ_z-Messung sicher +1.

Fehlanwendung

Anzunehmen, die Eigenvektoren eines nicht-normalen Operators seien orthogonal oder bildeten eine vollständige Basis, kann zu falschen Zerlegungen führen; manche Operatoren besitzen nicht-orthogonale oder unvollständige Eigenvektoren und erfordern generalisierte Eigenfunktionen.

Konsequenz

Richtig verwendet erzeugen Eigenvektoren invariante Unterräume, die Propagation, Diagonalisierung und Messtheorie vereinfachen; sie bestimmen den Zustand nach einer projektiven Messung.

Umkehrung

Die umgekehrte Sichtweise, die Zustandsvektoren als primär zu betrachten und daraus die Eigenstruktur abzuleiten, kann verbergen, welche Observablen auf diesen Zuständen einfach wirken.

Abgrenzung

Definiert für lineare Operatoren; für unbeschränkte Operatoren ist der Definitionsbereich entscheidend und in unendlichdimensionalen Hilberträumen können Eigenvektoren fehlen oder keine Basis bilden — dann sind kontinuierliches Spektrum und verallgemeinerte Eigenvektoren zuzulassen.

Semantische Spannung

Steht in Spannung zur informellen Bedeutung von 'Zustandsvektor' — ein Eigenvektor ist ein Zustand mit einem bestimmten Messwert einer Observable, ein allgemeiner Zustandsvektor muss jedoch kein Eigenvektor sein.

Synthese

Ein Eigenvektor ist eine nichtverschwindende Richtung, die durch einen Operator bis auf Skalierung invariant bleibt; in der Quantenmechanik entsprechen solche Vektoren Zuständen mit definierten Messergebnissen und bilden die Grundlage der Spektralanalyse.