Un vecteur non nul v pour lequel un opérateur linéaire A satisfait A v = λ v pour un scalaire λ ; en mécanique quantique, un vecteur propre d'un opérateur d'observable correspond à un état qui donne une valeur définie (valeur propre) lorsqu'on le mesure.

Principe

Les vecteurs propres identifient des directions invariantes d'un opérateur : l'opérateur agit par mise à l'échelle plutôt que par mélange sur ces vecteurs, fournissant une base naturelle pour décrire les résultats de mesure et les invariants dynamiques.

Démonstration

Pour la matrice de Pauli σ_z (spin 1/2), les vecteurs |↑⟩ = (1,0)^T et |↓⟩ = (0,1)^T sont des vecteurs propres avec valeurs propres +1 et -1 ; préparer le système dans |↑⟩ donne σ_z = +1 de manière certaine lors de la mesure.

Mauvaise application

Présumer que les vecteurs propres d'un opérateur non normal sont orthogonaux ou forment une base complète peut conduire à des décompositions incorrectes ; certains opérateurs ont des ensembles de vecteurs propres non orthogonaux ou incomplets et exigent des fonctions propres généralisées.

Conséquence

Bien utilisés, les vecteurs propres engendrent des sous-espaces invariants qui simplifient la propagation, la diagonalisation et la théorie des mesures ; ils déterminent l'état après mesure dans les mesures projectives.

Inversion

La perspective inverse consiste à traiter les vecteurs correspondant aux états physiques comme primaires et à en déduire ensuite la structure en valeurs propres ; cela peut masquer quelles observables agissent simplement sur ces états.

Limite

Défini pour les opérateurs linéaires ; pour les opérateurs non bornés le domaine est crucial et dans les espaces de Hilbert de dimension infinie les vecteurs propres peuvent ne pas exister ou ne pas former une base — il faut alors admettre spectre continu et vecteurs propres généralisés.

Tension sémantique

Concurrence avec l'idée informelle de « vecteur d'état » — un vecteur propre est un état avec une valeur définie d'une observable, mais un vecteur d'état général n'est pas nécessairement un vecteur propre de cette observable.

Synthèse

Un vecteur propre est une direction non nulle laissée invariante à une mise à l'échelle par un opérateur ; en mécanique quantique ces vecteurs correspondent à des états donnant des résultats de mesure définis et servent d'éléments fondamentaux pour l'analyse spectrale.