Un vector no nulo v para el cual un operador lineal A satisface A v = λ v para algún escalar λ; en mecánica cuántica un vector propio de un operador de una observable corresponde a un estado que devuelve un valor definido (un valor propio) cuando se mide.

Principio

Los vectores propios identifican direcciones invariantes de un operador: el operador actúa por escalado en lugar de mezclar esos vectores, proporcionando una base natural para describir resultados de medición e invariantes dinámicos.

Demostración

Para la matriz de Pauli σ_z (spin 1/2), los vectores |↑⟩ = (1,0)^T y |↓⟩ = (0,1)^T son vectores propios con valores propios +1 y -1 respectivamente; preparar el sistema en |↑⟩ produce seguro σ_z = +1 al medir.

Aplicación incorrecta

Asumir que los vectores propios de un operador no normal son ortogonales o forman una base completa puede llevar a descomposiciones incorrectas; algunos operadores tienen conjuntos de vectores propios no ortogonales o incompletos y requieren autofunciones generalizadas.

Consecuencia

Bien empleados, los vectores propios generan subespacios invariantes que simplifican la propagación, la diagonalización y la teoría de medidas; determinan el estado posterior a una medición proyectiva.

Inversión

La perspectiva inversa trata los vectores etiquetados como estados físicos como primarios e infiere la estructura de valores propios después; esto puede ocultar qué observables actúan de forma simple sobre esos estados.

Límite

Definido para operadores lineales; para operadores no acotados el dominio es crucial y en espacios de Hilbert de dimensión infinita los vectores propios pueden no existir o no formar una base — hay que permitir espectro continuo y vectores propios generalizados.

Tensión semántica

Compite con la noción informal de 'vector de estado' — un vector propio es un estado con un valor definido de una observable, pero un vector de estado general no tiene por qué ser un vector propio de dicha observable.

Síntesis

Un vector propio es una dirección no nula que un operador deja invariante salvo por un factor de escala; en mecánica cuántica esos vectores corresponden a estados que producen resultados de medida definidos y constituyen los bloques de construcción del análisis espectral.