Ein hermitescher (selbstadjungierter) linearer Operator A auf einem Hilbertraum, sodass für jeden Vektor |ψ⟩ der Erwartungswert ⟨ψ|A|ψ⟩ nichtnegativ ist; äquivalent haben alle Eigenwerte von A den Wert ≥ 0.

Prinzip

Prinzip der Positivität quadratischer Formen: A ist genau dann positiv semidefinit, wenn er eine nichtnegative sesquilineare Form erzeugt, was nichtnegative Mess-Erwartungswerte und eine Zerlegung in nichtnegative Eigenwerte sichert.

Demonstration

Eine Dichtematrix ρ, die einen Quantenzustand beschreibt, ist positiv semidefinit: für beliebige |ψ⟩ gilt ⟨ψ|ρ|ψ⟩ ≥ 0. Beispielsweise hat ein Qubit mit ρ = [[1/2,0],[0,1/2]] die Eigenwerte 1/2 und 1/2, also ist ρ positiv semidefinit.

Fehlanwendung

Zu glauben, eine Matrix mit ausschließlich nichtnegativen Einträgen sei automatisch positiv semidefinit: Einträge ≥ 0 implizieren nicht notwendigerweise ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 für alle |ψ⟩. Ebenfalls zu unterscheiden ist positiv semidefinit und positiv definit (letzteres verlangt strikte Positivität für alle nichtnull Vektoren).

Konsequenz

Positiv semidefinite Operatoren können als gültige Quantenwirkungen und Zustandsmatrizen dienen; sie besitzen Quadratwurzeln und Cholesky-ähnliche Zerlegungen und verhalten sich gut unter vollständig positiven Abbildungen.

Umkehrung

Die Umkehrung ist ein negativ semidefiniter Operator, bei dem ⟨ψ|A|ψ⟩ ≤ 0 für alle |ψ⟩ gilt; das Vorzeichen eines positiv semidefiniten Operators umzudrehen erzeugt ein solches negatives Objekt und entzieht ihm die Eignung als Effekt oder Zustand.

Abgrenzung

Der Begriff gilt nur für lineare hermitesche Operatoren auf innerproduktbasierten Räumen; ausgenommen sind nicht-hermitesche Operatoren, unbestimmte (indefinite) hermitesche Operatoren und lediglich elementweise nichtnegative Matrizen.

Semantische Spannung

Semantische Spannung besteht zwischen 'positiv' im spektralen Sinn (Eigenwerte ≥ 0) und 'positiv' im Sinn der Matrixelemente, sowie zwischen 'semidefinit' (Null-Eigenwerte erlaubt) und 'definit' (strikt positiv).

Synthese

Ein positiv semidefiniter Operator ist ein hermitescher Operator, dessen quadratische Form niemals negative Werte annimmt; diese spektrale Nichtnegativität ist die mathematische Bedingung dafür, dass der Operator als Dichteoperator, Effekt oder Mess-/Dynamikkomponente verwendbar ist.