Un operador lineal hermítico (auto-adjunto) A en un espacio de Hilbert tal que para todo vector |ψ⟩ el valor esperado ⟨ψ|A|ψ⟩ es no negativo; equivalente a decir que todos los autovalores de A son ≥ 0.

Principio

Positividad de formas cuadráticas: A es semidefinido positivo exactamente cuando induce una forma sesquilineal no negativa, garantizando expectativas de medida no negativas y una descomposición espectral en autovalores no negativos.

Demostración

Una matriz de densidad ρ que describe un estado cuántico es semidefinida positiva: para cualquier |ψ⟩, ⟨ψ|ρ|ψ⟩ ≥ 0. Por ejemplo, para un qubit ρ = [[1/2,0],[0,1/2]] los autovalores son 1/2 y 1/2, por lo que ρ es semidefinida positiva.

Aplicación incorrecta

Confundir entradas de matriz no negativas con semidefinición positiva: tener elementos no negativos no implica ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 para todos |ψ⟩. También confundir semidefinido positivo con definido positivo (este último exige estricta positividad para vectores no nulos).

Consecuencia

Los operadores semidefinidos positivos pueden funcionar como efectos cuánticos y matrices de densidad válidas; admiten raíces cuadradas y descomposiciones similares a Cholesky y se comportan bien bajo aplicaciones completamente positivas.

Inversión

La inversión sería un operador semidefinido negativo, con ⟨ψ|A|ψ⟩ ≤ 0 para todo |ψ⟩; cambiar el signo de un operador semidefinido positivo produce tal operador negativo e impide su uso como efecto o estado.

Límite

La noción se aplica únicamente a operadores lineales hermíticos en espacios con producto interior; quedan excluidos los operadores no hermíticos, los indefinidos (valores propios positivos y negativos) y las matrices solo con entradas no negativas.

Tensión semántica

Tensión semántica entre 'positivo' en el sentido espectral (autovalores no negativos) y 'positivo' en el sentido de entradas de matriz, y entre 'semidefinido' (permite ceros) y 'definido' (estrictamente positivo).

Síntesis

Un operador semidefinido positivo es un operador hermítico cuya forma cuadrática nunca produce valores negativos; esa no negatividad espectral es la condición matemática que habilita al operador como matriz de densidad, efecto o componente de medida y dinámica cuántica.