Un opérateur linéaire hermitien A sur un espace de Hilbert tel que, pour tout vecteur |ψ⟩, la valeur d'attente ⟨ψ|A|ψ⟩ est non négative ; de façon équivalente, toutes les valeurs propres de A sont ≥ 0.

Principe

Positivité des formes quadratiques : A est semi-défini positif exactement lorsqu'il induit une forme sesquilinéaire non négative, garantissant des espérances de mesure non négatives et une décomposition spectrale en valeurs propres non négatives.

Démonstration

Une matrice de densité ρ représentant un état quantique est semi-définie positive : pour tout |ψ⟩, ⟨ψ|ρ|ψ⟩ ≥ 0. Par exemple, pour un qubit ρ = [[1/2, 0],[0,1/2]] les valeurs propres sont 1/2 et 1/2, donc ρ est semi-défini positif.

Mauvaise application

Confondre des entrées de matrice non négatives avec la semi-définition positive : des éléments non négatifs n'impliquent pas ⟨ψ|A|ψ⟩ ≥ 0 pour tout |ψ⟩. Confondre aussi semi-défini positif et défini positif (qui exige strictement > 0 pour tout vecteur non nul).

Conséquence

Les opérateurs semi-définis positifs peuvent servir d'effets et de matrices de densité valides ; ils admettent des racines carrées et des décompositions de type Cholesky et se combinent naturellement sous des applications complètement positives.

Inversion

L'inverse est un opérateur semi-défini négatif, pour lequel ⟨ψ|A|ψ⟩ ≤ 0 pour tout |ψ⟩ ; changer le signe d'un opérateur semi-défini positif produit un opérateur semi-défini négatif et le rend inapte comme effet ou état.

Limite

La notion s'applique uniquement aux opérateurs linéaires hermitiens sur espaces à produit scalaire ; sont exclus les opérateurs non hermitiens, les opérateurs indéfinis (ayant valeurs propres positives et négatives) et les matrices seulement à entrées non négatives.

Tension sémantique

Tension sémantique entre 'positif' au sens spectral (valeurs propres non négatives) et 'positif' au sens des éléments de matrice, et entre 'semi-défini' (zéros autorisés) et 'défini' (strictement positif).

Synthèse

Un opérateur semi-défini positif est un opérateur hermitien dont la forme quadratique ne prend jamais de valeurs négatives ; cette non-négativité spectrale est la condition mathématique qui rend l'opérateur apte à représenter un état, un effet ou une composante de mesure ou de dynamique quantique.