Ein Quanteninstrument ist eine mathematische Beschreibung einer Quantenmessung, die sowohl ein klassisches Ergebnis als auch einen (möglicherweise subnormalisierten) Zustand nach der Messung liefert. Formal ist es eine Kollektion {ℰ_x} vollständig positiver, spurnicht-überschreitender linearer Abbildungen bezeichnet durch Messresultate x, so dass die Summe ∑_x ℰ_x eine vollständig positive, spurerhaltende Abbildung ist. Das Instrument kodiert damit die Messstatistik (über die Spuren) und die konditionellen Zustandsänderungen.

Prinzip

Eine Quantenmessung muss sowohl die Ergebniswahrscheinlichkeiten als auch die zustandsverändernde Wirkung bedingter Messungen angeben; Instrumente vereinigen diese Aspekte als Sammlungen von CP-Abbildungen, deren Summe einen Kanal bildet.

Demonstration

Projektive Messung eines Qubits in der Rechenbasis: zwei Abbildungen ℰ_0(ρ)=|0⟩⟨0| ρ |0⟩⟨0| und ℰ_1(ρ)=|1⟩⟨1| ρ |1⟩⟨1| erzeugen die Ergebnisse 0 bzw. 1 mit Wahrscheinlichkeiten Tr(ℰ_x(ρ)) und liefern die projizierten (subnormalisierten) Nachmessungszustände ℰ_x(ρ). Die Summe ℰ_0+ℰ_1 ergibt den Dephasierungs-Kanal in dieser Basis.

Fehlanwendung

Ein Instrument lediglich mit dem zugehörigen POVM gleichzusetzen und die zustandskonditionierten Abbildungen zu vernachlässigen; dadurch geht Rückwirkung verloren und man kann Folge­messungen oder Feedback nicht korrekt modellieren.

Konsequenz

Mit Instrumenten lassen sich gemeinsame Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen und die daraus folgenden konditionellen Dynamiken berechnen, was korrektes Beschreiben von Mess-Feedback, Zustandsrückschlüssen und adaptiven Protokollen ermöglicht.

Umkehrung

Löscht man die klassischen Messergebnisse und summiert die Instrument-Abbildungen, so erhält man einen Kanal, der die unselektive (mittlere) Zustandsevolution beschreibt; umgekehrt ist es unzulässig, einem allgemeinen Kanal ohne zusätzliche Struktur outcome-konditionierte Zustände zuzuordnen.

Abgrenzung

Gilt für lineare Abbildungen auf Operatoralgebren (endlich- oder unendlich-dimensional), die vollständig positiv sind; einzelne ℰ_x müssen nicht die Spur erhalten, wohl aber spurnicht-überschreitend sein, und ihre Summe muss spurerhaltend sein. Schließt rein klassische Messungen und Beschreibungen ohne konditionelle Zustandsupdates aus.

Semantische Spannung

Instrument vs POVM: Ein POVM liefert nur Wahrscheinlichkeiten (Operatoren E_x), ein Instrument hingegen die vollständige konditionelle Dynamik; die Begriffe sind verwandt, aber nicht äquivalent. Instrumente unterscheiden sich von Kanälen durch Outcome-Labeling und mögliche Spurabnahme pro Outcome.

Synthese

Ein Quanteninstrument ist das vollständige operationelle Objekt einer Messung: eine beschriftete Sammlung CP, spurnicht-überschreitender Abbildungen, deren Spuren Ergebniswahrscheinlichkeiten liefern und deren normalisierte Ausgaben die Nachmessungszustände sind; die Summe ergibt den unselektiven Kanal, der die durchschnittliche Wirkung der Messung beschreibt.