Un instrumento cuántico es una descripción matemática de una medida cuántica que devuelve tanto un resultado clásico como un estado cuántico posterior a la medida (posiblemente subnormalizado). Formalmente es una colección {ℰ_x} de aplicaciones lineales completamente positivas y no aumentadoras de traza etiquetadas por los resultados x, tal que la suma ∑_x ℰ_x es una aplicación completamente positiva que preserva la traza. El instrumento codifica las estadísticas de medida (por las trazas de salida) y las actualizaciones condicionales de estado.

Principio

Una medida cuántica debe especificar no solo las probabilidades de los resultados sino también cómo cambia el estado del sistema condicionado a cada resultado; los instrumentos unifican ambas facetas como colecciones de mapas CP cuya suma es un canal.

Demostración

Medición proyectiva en un qubit en la base computacional: dos mapas ℰ_0(ρ)=|0⟩⟨0| ρ |0⟩⟨0| y ℰ_1(ρ)=|1⟩⟨1| ρ |1⟩⟨1| producen los resultados 0 o 1 con probabilidades Tr(ℰ_x(ρ)) y devuelven los estados proyectados (subnormalizados) ℰ_x(ρ). La suma ℰ_0+ℰ_1 da lugar al canal de descoherencia en esa base.

Aplicación incorrecta

Tratar un instrumento como si fuera únicamente su POVM asociado y omitir los mapas condicionales de estado, lo que elimina la información sobre la retroacción y evita modelar secuencias de medidas o control por retroalimentación.

Consecuencia

Emplear instrumentos permite calcular probabilidades conjuntas de registros de medida y la dinámica condicional resultante, posibilitando descripciones correctas de control basado en medida, retrodicción de estados y protocolos adaptativos.

Inversión

Si se descarta el registro clásico de resultados y se suman los mapas del instrumento, se obtiene un canal cuántico que describe la evolución no selectiva (promedio); a la inversa, tratar a un canal como si proporcionara estados condicionados por resultado no es válido sin estructura adicional.

Límite

Se aplica a mapas lineales sobre álgebras de operadores (de dimensión finita o infinita) que sean completamente positivos; los ℰ_x individuales no tienen por qué preservar la traza pero sí deben ser no aumentadores de traza y su suma debe ser conservadora de la traza. Excluye medidas puramente clásicas y descripciones que omitan la actualización condicional del estado.

Tensión semántica

Instrumento vs POVM: un POVM da solo probabilidades (operadores E_x) mientras que un instrumento ofrece la dinámica condicional completa; son compatibles pero no intercambiables. Los instrumentos difieren de los canales por llevar etiquetas de resultado y por la posibilidad de disminución de la traza por resultado.

Síntesis

Un instrumento cuántico es el objeto operacional completo de una medida: un conjunto etiquetado de mapas CP no aumentadores de traza cuyas trazas dan las probabilidades de resultado y cuyas salidas normalizadas son los estados post-medida; la suma de los mapas recupera el canal no selectivo que representa el efecto medio de la medida.