Un instrument quantique est une description mathématique d'une mesure quantique qui fournit à la fois un résultat classique et un état quantique post-mesure (éventuellement sous-normalisé). Formellement, c'est une famille {ℰ_x} de transformations linéaires complètement positives et trace-non-croissantes indexées par les issues x, telle que la somme ∑_x ℰ_x soit une transformation complètement positive et préservant la trace. L'instrument encode ainsi les statistiques de mesure (par les traces de sortie) et les mises à jour d'état conditionnelles.

Principe

Une mesure quantique doit préciser non seulement les probabilités des issues mais aussi la manière dont l'état du système est modifié conditionnellement ; les instruments unifient ces deux aspects par des applications CP dont la somme est un canal.

Démonstration

Mesure projective sur un qubit dans la base computationnelle : deux applications ℰ_0(ρ)=|0⟩⟨0| ρ |0⟩⟨0| et ℰ_1(ρ)=|1⟩⟨1| ρ |1⟩⟨1| produisent les issues 0 ou 1 avec des probabilités Tr(ℰ_x(ρ)) et retournent les états projetés (sous-normalisés) ℰ_x(ρ). La somme ℰ_0+ℰ_1 donne le canal de déphasage dans cette base.

Mauvaise application

Considérer un instrument comme se réduisant à son POVM associé en ignorant les applications d'état conditionnelles, ce qui fait perdre l'information sur la rétroaction et empêche de modéliser des séquences de mesures ou du contrôle par rétroaction.

Conséquence

L'utilisation d'instruments permet de calculer les probabilités conjointes des relevés et la dynamique conditionnelle, autorisant une description correcte du contrôle mesuré, de la rétrodiction d'état et des protocoles adaptatifs.

Inversion

Si l'on jette le registre classique des issues et que l'on somme les applications de l'instrument, on obtient un canal quantique qui décrit l'évolution non sélective (moyenne) ; inversement, traiter un canal comme fournissant des états conditionnés par issue nécessite une structure supplémentaire.

Limite

S'applique aux applications linéaires sur des algèbres d'opérateurs (dimension finie ou infinie) qui sont complètement positives ; les ℰ_x individuels ne doivent pas nécessairement préserver la trace mais doivent être trace-non-croissantes et leur somme doit être trace-préservante. Exclut les mesures purement classiques et les descriptions omettant la mise à jour conditionnelle.

Tension sémantique

Instrument vs POVM : un POVM ne donne que des probabilités (opérateurs E_x) tandis qu'un instrument donne la dynamique conditionnelle complète ; les deux sont compatibles mais non interchangeables. Les instruments diffèrent aussi des canaux car ils portent une étiquetage par issues et peuvent diminuer la trace par issue.

Synthèse

Un instrument quantique est l'objet opérationnel complet pour la mesure : un ensemble indexé d'applications CP trace-non-croissantes dont les traces fournissent les probabilités d'issue et dont les sorties normalisées sont les états post-mesure ; la somme des applications restitue le canal non sélectif représentant l'effet moyen de la mesure.