Eine vollständig positive (CP) Abbildung ist eine lineare Abbildung Φ zwischen Operatoralgebren, so dass für jedes Hilbertraum-Ancilla die erweiterte Abbildung id_A ⊗ Φ positive Operatoren auf positive Operatoren abbildet. Äquivalent besitzt Φ im endlichdimensionalen Fall eine Kraus-Darstellung Φ(·)=∑_i K_i (·) K_i†, welche die Positivität bei verschränkten Eingaben sicherstellt.

Prinzip

Positivität einer Abbildung auf isolierten Systemen reicht in der Quantentheorie nicht aus; physikalische Gültigkeit verlangt, dass Positivität unter Erweiterung durch die Identität auf beliebige Ancillas erhalten bleibt, also vollständige Positivität.

Demonstration

In endlichdimensionalen Räumen ist jede Abbildung mit Kraus-Operatoren {K_i}, definiert durch Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i†, vollständig positiv. Gegenbeispiel: Die Transpositionsabbildung T ist auf Einzelsystemen positiv, aber nicht vollständig positiv, weil id ⊗ T auf maximalkorrelierte Zustände nichtpositive Operatoren erzeugt.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede positive Abbildung sei physikalisch umsetzbar auf einem Teil eines verschränkten Systems; die Anwendung einer nur positiven Abbildung auf ein Subsystem kann bei verschränkten Gesamtsystemen zu nichtphysikalischen (nichtpositiven) globalen Zuständen führen.

Konsequenz

Vollständige Positivität ist eine notwendige strukturelle Bedingung für mathematische Beschreibungen der Subsystemdynamik, die aus unitärer Evolution eines größeren Systems hervorgehen; die Forderung nach CP schränkt zulässige Repräsentationen ein und garantiert die Stabilität der Positivität unter Erweiterung.

Umkehrung

Wird vollständige Positivität zugunsten bloßer Positivität aufgegeben, erhält man Abbildungen, die nur für unkorrelierte Eingaben sinnvoll sind; umgekehrt führt die Durchsetzung von CP bei gleichzeitiger Aufgabe anderer Operationseigenschaften aus dem Standardrahmen heraus.

Abgrenzung

Definiert für lineare Abbildungen auf Operatorräumen; vollständige Positivität muss für alle Ancilla-Dimensionen gelten. Schließt nichtlineare Transformationen und nur auf eingeschränkten Mengen positive Abbildungen aus; in unendlichdimensionalen Fällen treten zusätzliche technische Domainfragen auf.

Semantische Spannung

Vollständig positiv vs positiv: Positivität prüft das Bild positiver Operatoren, vollständige Positivität prüft zudem die Extension durch beliebige Ancillas; der Unterschied ist bei Vorhandensein von Verschränkung entscheidend.

Synthese

Eine vollständig positive Abbildung ist die lineare Operatorbedingung, die gewährleistet, dass eine Transformation positiv bleibt, auch wenn das System mit beliebigen Ancillas verschränkt ist; in endlichdimensionalen Fällen entspricht dies der Existenz einer Kraus-Operatordarstellung und bildet die Grundlage physikalisch realisierbarer Subsystemevolutionen.