Une application complètement positive (CP) est une application linéaire Φ entre algèbres d'opérateurs telle que, pour tout système auxiliaire de dimension finie ou infinie quelconque, l'application étendue id_A ⊗ Φ envoie les opérateurs positifs sur des opérateurs positifs. Équivalemment, sur des espaces de dimension finie, Φ admet une décomposition de Kraus Φ(·)=∑_i K_i (·) K_i†, ce qui garantit la positivité sur des entrées intriquées.

Principe

La positivité d'une application sur des systèmes isolés est insuffisante en théorie quantique ; la validité physique exige que la positivité soit conservée lors de l'extension par l'identité sur tout ancilla, assurant que des états intriqués restent positifs — c'est l'exigence de complète positivité.

Démonstration

Sur espaces de dimension finie, toute application possédant des opérateurs de Kraus {K_i} définis par Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i† est complètement positive. Contre-exemple : la transposition T est positive sur opérateurs densité d'un seul système mais pas complètement positive car id ⊗ T produit des opérateurs non positifs sur états maximement intriqués.

Mauvaise application

Supposer que toute application positive est physiquement réalisable sur une partie d'un système intriqué ; l'utilisation d'une application simplement positive sur un sous-système peut engendrer des états globaux non physiques (non positifs) lorsque l'état total est intriqué.

Conséquence

La complète positivité est une condition structurelle nécessaire pour les descriptions mathématiques de la dynamique de sous-systèmes issues d'une évolution unitaire sur un système plus grand ; exiger CP contraint les représentations admissibles et garantit la stabilité de la positivité sous extension.

Inversion

Relâcher la complète positivité en faveur de la simple positivité donne des applications valables seulement pour des entrées non corrélées ; inversement, imposer la CP tout en abandonnant la linéarité ou d'autres contraintes opérationnelles sort du cadre standard des opérations quantiques.

Limite

Définie parmi les applications linéaires sur espaces d'opérateurs ; la complète positivité doit tenir pour toutes les dimensions d'ancilla. Exclut les transformations non linéaires et les applications positives seulement sur des ensembles restreints ; en dimension infinie des problèmes techniques de domaine peuvent apparaître.

Tension sémantique

Complète positivité vs positivité : la positivité vérifie l'image d'opérateurs positifs, tandis que la complète positivité teste la positivité après extension par tout ancilla ; la distinction est cruciale en présence d'intrication.

Synthèse

Une application complètement positive est la condition linéaire au niveau des opérateurs qui garantit qu'une transformation agit positivement même lorsque le système est intriqué avec des ancillas arbitraires ; en dimension finie cela équivaut à l'existence d'une représentation par somme d'opérateurs de Kraus et fonde les évolutions de sous-systèmes physiquement réalisables.