Una aplicación completamente positiva (CP) es un mapa lineal Φ entre álgebras de operadores tal que para cualquier sistema auxiliar de dimensión finita o infinita, la extensión id_A ⊗ Φ lleva operadores positivos a operadores positivos. Equivalentemente, en espacios de dimensión finita Φ admite una descomposición de Kraus Φ(·)=∑_i K_i (·) K_i†, lo que garantiza positividad para entradas entrelazadas.

Principio

La positividad de un mapa en sistemas aislados no basta en la teoría cuántica; la validez física exige que la positividad se mantenga al extender por la identidad en cualquier ancilla, asegurando que los estados entrelazados sigan siendo positivos —esta es la exigencia de completa positividad.

Demostración

En espacios finito-dimensionales, cualquier mapa con operadores de Kraus {K_i} definidos por Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i† es completamente positivo. Contraejemplo: la transposición T es positiva en operadores densidad de un solo sistema pero no completamente positiva, porque id ⊗ T da operadores no positivos sobre estados maximamente entrelazados.

Aplicación incorrecta

Suponer que cualquier mapa positivo es físicamente implementable en parte de un sistema entrelazado; usar un mapa meramente positivo sobre un subsistema puede producir estados globales no físicos (no positivos) cuando el estado total está entrelazado.

Consecuencia

La completa positividad es una condición estructural necesaria para descripciones matemáticas de la dinámica de subsistemas que provienen de una evolución unitaria en un sistema mayor; exigir CP restringe las representaciones permitidas y asegura la estabilidad de la positividad bajo extensión.

Inversión

Relajar la completa positividad a positividad produce mapas válidos solo para entradas no correlacionadas; por el contrario, imponer CP mientras se quita linealidad u otras restricciones operacionales sale del marco estándar de operaciones cuánticas.

Límite

Definida entre mapas lineales en espacios de operadores; la completa positividad debe cumplirse para todas las dimensiones de ancilla. Excluye transformaciones no lineales y mapas que son positivos solo en conjuntos restringidos; en dimensiones infinitas pueden surgir cuestiones técnicas de dominio.

Tensión semántica

Completamente positiva vs positiva: la positividad prueba la imagen de operadores positivos, mientras que la completa positividad prueba la positividad tras extensión por cualquier ancilla; la distinción es crucial en presencia de entrelazamiento.

Síntesis

Una aplicación completamente positiva es la condición lineal a nivel operador que garantiza que una transformación actúe positivamente aun cuando el sistema esté entrelazado con ancillas arbitrarios; en dimensiones finitas equivale a la existencia de una representación por suma de Kraus y fundamenta las evoluciones de subsistemas físicamente realizables.