Eine spurerhaltende Abbildung ist eine lineare Abbildung Φ auf Operatoren, die für alle Spurenklasse-Operatoren ρ in ihrem Definitionsbereich Tr[Φ(ρ)]=Tr[ρ] erfüllt. Im Kontext quantenmechanischer Zustände gewährleistet Spurerhaltung, dass normalisierte Dichtematrizen nach der Transformation normalisiert bleiben; in Verbindung mit vollständiger Positivität ist eine solche Abbildung ein Quantenkanal (CPTP).

Prinzip

Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit verlangt, dass physikalisch zulässige Abbildungen normalisierte Zustände in spurerhaltende Zustände überführen; dies ist die algebraische Voraussetzung dafür, dass Ausgabenzustände ohne Renormierung gültige Dichtematrizen bleiben (nichtselektiver Fall).

Demonstration

In der Kraus-Darstellung Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i† ist eine Abbildung genau dann spurerhaltend, wenn ∑_i K_i† K_i = I gilt. Für den Depolarisierungs-Kanal Φ_p des Qubits können Kraus-Operatoren so gewählt werden, dass diese Identität erfüllt ist, wodurch Tr[Φ_p(ρ)]=Tr[ρ] für alle ρ gesichert ist.

Fehlanwendung

Spurerhaltung mit Umkehrbarkeit oder Unitarität zu verwechseln; eine spurerhaltende Abbildung kann irreversibel und verrauscht sein. Eine weitere Fehlanwendung ist das Anwenden der Spurerhaltungsbedingung auf eine konditionelle (postselektive) Operation, bei der die Spur abnehmen darf.

Konsequenz

Spurerhaltende Abbildungen sichern die Normierung der Wahrscheinlichkeiten im Mittel; in Kombination mit CP erzeugen sie Dichtematrizen aus Dichtematrizen und erlauben die Kaskadierung ohne zusätzliche Renormierungsfaktoren.

Umkehrung

Verzichtet man auf Spurerhaltung, entstehen spurdämpfende CP-Abbildungen, die selektive Messungen, heraldete Operationen und postselektive Kanäle beschreiben; diese Abbildungen können normalisierte Zustände auf subnormalisierte Zustände abbilden, deren Spur die Selektionswahrscheinlichkeit kodiert.

Abgrenzung

Definiert für lineare Abbildungen auf Spurenklasse-Operatoren; die Spurerhaltung muss für alle Eingaben gelten. Schließt Abbildungen aus, die die Spur nur auf einem Unterraum erhalten, oder Abbildungen, die zur Darstellung bedingter Selektion gedacht sind, und impliziert nicht Eigenschaften wie Reversibilität oder Unitalität.

Semantische Spannung

Spurerhaltung vs Unitalität: Spurerhaltung betrifft die Erhaltung der Normierung von Zuständen, Unitalität die Erhaltung der Identität (des maximal gemischten Zustands); beide können gleichzeitig gelten (bistochastische Kanäle) oder getrennt, mit unterschiedlichen operationalen Konsequenzen.

Synthese

Eine spurerhaltende Abbildung ist die lineare Operatorbedingung, die die Erhaltung der Normierung erzwingt: für alle zulässigen Eingaben hat die Ausgabe dieselbe Spur; zusammen mit vollständiger Positivität grenzt sie die physikalisch zulässigen, nichtselektiven Zustands­transformationen ab, die Quantenkanäle bilden.