Une application préservant la trace est une application linéaire Φ sur des opérateurs qui satisfait Tr[Φ(ρ)]=Tr[ρ] pour tous les opérateurs de trace finie ρ de son domaine. Dans le contexte des états quantiques, la préservation de la trace garantit que les opérateurs densité normalisés restent normalisés après transformation ; combinée à la complète positivité, une telle application est un canal quantique (CPTP).

Principe

La conservation de la probabilité totale exige que les transformations physiques d'états normalisés préservent la trace ; ceci s'exprime algébriquement pour que les états de sortie restent des opérateurs densité valides sans renormalisation dans le scénario non sélectif.

Démonstration

Dans la représentation de Kraus Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i†, une application est préservant la trace exactement si ∑_i K_i† K_i = I. Pour le canal de dépolarisation Φ_p du qubit on peut choisir des opérateurs de Kraus satisfaisant cette identité, garantissant Tr[Φ_p(ρ)]=Tr[ρ] pour tout ρ.

Mauvaise application

Confondre la préservation de la trace avec la réversibilité ou l'unitarité ; une application préservant la trace peut être irréversible et bruitée. Une autre mauvaise application est d'appliquer la condition de préservation de la trace à une opération conditionnelle (post-sélection) où la trace est censée décroître.

Conséquence

Les applications préservant la trace assurent la normalisation des probabilités en moyenne ; combinées à la CP, elles envoient des opérateurs densité sur des opérateurs densité et permettent la composition en série sans facteurs de renormalisation supplémentaires.

Inversion

Abandonner la préservation de la trace donne des applications CP trace-décroissantes qui décrivent naturellement des mesures sélectives, des opérations annoncées et des canaux post-sélectionnés ; ces applications peuvent mapper des états normalisés sur des états sous-normalisés dont la trace encode la probabilité de sélection.

Limite

Définie pour des applications linéaires sur opérateurs de classe trace ; la préservation doit tenir pour toutes les entrées du domaine. Exclut les applications qui ne préservent la trace que sur un sous-espace ou les applications destinées à représenter la sélection conditionnelle, et n'implique pas d'autres propriétés comme la réversibilité ou l'unitalité.

Tension sémantique

Préservation de la trace vs Unitalité : la préservation de la trace concerne la conservation de la normalisation des états tandis que l'unitalité concerne la conservation de l'identité (l'état maximument mélangé) ; les deux peuvent être simultanées (canaux bistochastiques) ou séparées, entraînant des comportements opérationnels différents.

Synthèse

Une application préservant la trace est la condition linéaire au niveau opérateur qui impose la conservation de la normalisation : pour toutes les entrées valides la sortie a la même trace ; exigée avec la complète positivité elle identifie les transformations d'état non sélectives physiquement admises appelées canaux quantiques.