Una aplicación que preserva la traza es un mapa lineal Φ sobre operadores que satisface Tr[Φ(ρ)]=Tr[ρ] para todos los operadores de clase traza ρ de su dominio. En el contexto de estados cuánticos, la preservación de la traza garantiza que los operadores densidad normalizados permanezcan normalizados tras la transformación; al combinarse con completa positividad, un mapa es un canal cuántico (CPTP).

Principio

La conservación de la probabilidad total requiere que los mapas físicamente permitidos preserven la traza de estados normalizados; esta es la expresión algebraica que asegura que los estados de salida sean operadores densidad válidos sin renormalización en el escenario no selectivo.

Demostración

En la representación de Kraus Φ(ρ)=∑_i K_i ρ K_i†, un mapa es trazador-preservante exactamente si ∑_i K_i† K_i = I. Para el canal de despolarización Φ_p del qubit se pueden elegir operadores de Kraus que satisfacen esta identidad, garantizando Tr[Φ_p(ρ)]=Tr[ρ] para cualquier ρ.

Aplicación incorrecta

Confundir preservar la traza con reversibilidad o unitariedad; una aplicación que preserva la traza puede ser irreversible y ruidosa. Otro uso indebido es aplicar la condición de preservación de la traza a una operación condicional (postselección) donde se espera que la traza disminuya.

Consecuencia

Las aplicaciones que preservan la traza aseguran la normalización de las probabilidades en promedio; combinadas con CP transforman operadores densidad en operadores densidad y permiten la composición en cascada sin factores adicionales de renormalización.

Inversión

Renunciar a la preservación de la traza produce aplicaciones CP que disminuyen la traza y que describen naturalmente medidas selectivas, operaciones anunciadas y canales postseleccionados; estos mapas pueden transformar estados normalizados en subnormalizados cuya traza codifica la probabilidad de selección.

Límite

Definida para mapas lineales sobre operadores de clase traza; la preservación debe cumplirse para todas las entradas del dominio. Excluye mapas que solo preservan la traza en un subespacio o mapas destinados a representar selección condicional, y no implica propiedades adicionales como reversibilidad o unitalidad.

Tensión semántica

Preservación de la traza vs Unitalidad: la preservación de la traza se refiere a la conservación de la normalización de estados, mientras que la unitalidad se refiere a la conservación de la identidad (el estado maximamente mezclado); ambas pueden darse simultáneamente (canales bistocásticos) o por separado, dando conductas operacionales distintas.

Síntesis

Una aplicación que preserva la traza es la condición lineal a nivel de operadores que impone la conservación de la normalización: para todas las entradas válidas la salida tiene la misma traza; exigida junto con la completa positividad, identifica las transformaciones no selectivas físicamente permitidas llamadas canales cuánticos.