Eine konkrete Vorschrift zur Zustandsaktualisierung bei projektiven Messungen mit entarteten Eigenwerten: Nach Beobachtung eines Ergebnisses, das durch einen Projektor P für einen entarteten Eigenraum repräsentiert ist, erhält man den Nachmessungszustand durch Projektieren und Renormieren innerhalb dieses Eigenraums statt durch Auswahl eines einzelnen Eigenvektors.

Prinzip

Wende die minimal notwendige Störung an, die mit dem Erhalt des grobgruppierten Ergebnisses vereinbar ist: Aktualisiere durch Projektieren auf den gemessenen Eigenraum, so dass Kohärenz innerhalb dieses Eigenraums erhalten bleibt, während Kohärenz zwischen verschiedenen Eigenräumen entfernt wird.

Demonstration

Hat eine Messung ein Ergebnis i mit Projektor P_i, der auf einen k-dimensionalen Eigenraum projiziert, so lautet die Lüders-Regel ρ' = P_i ρ P_i / Tr(P_i ρ). Beispiel: Die Messung des Gesamtspins S^2 zweier Spin-1/2-Teilchen liefert einen Triplet-Eigenraum; nach dem Erhalt des Triplet-Ergebnisses bleibt der Zustand eine Dichtematrix, die auf diesem Triplet-Unterraum liegt, statt auf einen einzelnen Triplet-Vektor zu kollabieren.

Fehlanwendung

Die Lüders-Regel dort anzuwenden, wo die Messwechselwirkung oder das Messgerät eine stärkere, zustandsspezifische Auswahl (von Neumann-Selektion eines Eigenzustands) realisiert, oder sie auf nichtprojektive POVM-Ergebnisse ohne Instrumentenmodell zu übertragen, missachtet die Annahme der minimalen Störung.

Konsequenz

Erhält Kohärenz innerhalb entarteter Eigenräume, liefert richtige bedingte Wahrscheinlichkeiten für nachfolgende Messungen, die innerhalb des Eigenraums wirken, und bietet eine konsistente Aktualisierung bei nur grobkörniger Information.

Umkehrung

Die von Neumann'sche stärkere Projektion auf einen eindimensionalen Eigenzustand ist das Gegenteil: Sie entfernt Kohärenz innerhalb des entarteten Eigenraums und ergibt einen reinen Eigenvektor, wenn das Messgerät Eigenvektoren unterscheidet.

Abgrenzung

Gilt für projektive Messungen mit orthogonalen Projektoren und für idealisierte Messungen, die innerhalb der Eigenräume nicht zerstörerisch sind; sie trifft nicht auf verallgemeinerte Messmodelle ohne orthogonale Projektoren, auf Messungen, die aktiv innerhalb entarteter Unterräume decohärent wirken, oder auf kontinuierliche unscharfe Messungen ohne Anpassung zu.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der Lüders-Regel als Minimalstörungsvorschrift und der von Neumann-Projektion als maximal selektierender Vorgang: In der Praxis bestimmt das Messgerät und die Wechselwirkung, welche Regel zutrifft, sodass die Wahl ebenso empirisch wie formal ist.

Synthese

Die Lüders-Regel formalisiert die am wenigsten störende Aktualisierung bei einer projektiven Messung mit Entartung: Bedingt auf ein grobgefasstes Ergebnis wird der Zustand auf den entsprechenden Eigenraum projiziert und renormiert, wobei interne Kohärenz erhalten bleibt und Kohärenz zwischen verschiedenen Eigenräumen entfernt wird.