Una prescripción específica de actualización de estado para mediciones proyectivas con valores propios degenerados: al observar un resultado asociado a un proyector P que representa un subespacio propio degenerado, el estado post-medida se obtiene proyectando y renormalizando dentro de ese subespacio en lugar de seleccionar un único autovector.

Principio

Aplicar la perturbación mínima compatible con obtener el resultado macroagrupado: actualizar proyectando en el subespacio medido de modo que la coherencia dentro de ese subespacio se preserve, mientras que se elimina la coherencia entre subespacios distintos.

Demostración

Si una medida tiene un resultado i con proyector P_i que proyecta sobre un subespacio propio de dimensión k, la regla de Lüders transforma ρ en ρ' = P_i ρ P_i / Tr(P_i ρ). Ejemplo: medir el spin total S^2 de dos partículas de spin 1/2 da un subespacio triplete; tras obtener el resultado 'triplete' el estado permanece como una densidad apoyada en ese subespacio triplete en lugar de colapsar a un único vector triplete.

Aplicación incorrecta

Usar la regla de Lüders en situaciones donde la interacción de medida o el aparato implementan un colapso más fuerte selectivo de estado (selección de von Neumann a un autovector), o aplicarla a resultados de POVM no proyectivos sin un modelo de instrumento; esto ignora la hipótesis de perturbación mínima.

Consecuencia

Preserva la coherencia intrabanda dentro de subespacios degenerados, proporciona las probabilidades condicionales correctas para medidas posteriores que actúan dentro del subespacio y ofrece una actualización coherente cuando solo se obtiene información gruesa.

Inversión

La proyección más fuerte de von Neumann a un autovector unidimensional es lo contrario: elimina la coherencia dentro del subespacio degenerado y produce un vector propio puro cuando el aparato distingue autovectores.

Límite

Válida para medidas proyectivas cuyos resultados corresponden a proyectores ortogonales y cuando la medida se idealiza como no destructiva dentro de los subespacios propios; no se aplica a modelos de medida generalizados sin proyectores ortogonales, a medidas que decoheran activamente dentro de subespacios degenerados, ni a medidas continuas no nítidas sin adaptación.

Tensión semántica

Tensión entre ver la regla de Lüders como una actualización de perturbación mínima y la proyección de von Neumann como una selección máxima: en la práctica, el aparato y la interacción de medida determinan cuál aplica, por lo que la elección es tanto empírica como formal.

Síntesis

La regla de Lüders formaliza la actualización menos perturbadora para una medida proyectiva con degeneración: condicionado a un resultado macroagrupado, el estado se proyecta y renormaliza en el subespacio propio correspondiente, preservando la coherencia interna y eliminando la coherencia entre subespacios distintos.