Une prescription de mise à jour d'état pour des mesures projectives présentant des valeurs propres dégénérées : lorsqu'on observe un résultat associé au projecteur P représentant un espace propre dégénéré, l'état post-mesure est obtenu en projetant et renormalisant à l'intérieur de cet espace propre plutôt qu'en sélectionnant un vecteur propre unique.

Principe

Appliquer la perturbation minimale compatible avec l'obtention du résultat agrégé : mettre à jour en projetant sur l'espace propre mesuré de sorte que la cohérence à l'intérieur de cet espace soit préservée tandis que la cohérence entre espaces propres distincts est supprimée.

Démonstration

Si une mesure a un résultat i avec projecteur P_i projetant sur un espace propre de dimension k, la règle de Lüders envoie ρ sur ρ' = P_i ρ P_i / Tr(P_i ρ). Exemple : mesurer le spin total S^2 de deux particules de spin 1/2 donne un espace propre triplet ; après l'obtention du résultat 'triplet' l'état reste une densité supportée sur ce sous-espace triplet plutôt que de s'effondrer sur un vecteur triplet unique.

Mauvaise application

Employer la règle de Lüders là où l'interaction de mesure ou l'appareil réalise un effondrement plus fort, sélectif d'état (sélection von Neumann d'un état propre), ou l'appliquer à des résultats de POVM non projectifs sans modèle d'instrument ; ceci méconnaît l'hypothèse de perturbation minimale.

Conséquence

Préserve la cohérence intrabande au sein des espaces propres dégénérés, fournit les bonnes probabilités conditionnelles pour des mesures ultérieures qui agissent à l'intérieur de l'espace propre, et donne une mise à jour cohérente lorsqu'on ne dispose que d'information grossière.

Inversion

La projection plus forte de von Neumann sur un état propre (sélection complète) est l'inverse : elle supprime la cohérence à l'intérieur de l'espace propre dégénéré et produit un vecteur propre pur lorsque l'appareil distingue les vecteurs propres.

Limite

Valable pour des mesures projectives dont les résultats correspondent à des projecteurs orthogonaux et lorsque la mesure est idéalisée comme non destructive à l'intérieur des espaces propres ; elle ne s'applique pas aux modèles de mesure généralisés sans projecteurs orthogonaux, aux mesures qui décohèrent activement à l'intérieur des sous-espaces dégénérés, ni aux mesures continues non nettes sans adaptation.

Tension sémantique

Tension entre la règle de Lüders comme mise à jour de perturbation minimale et la projection de von Neumann comme sélection maximale : dans la pratique, l'appareil et l'interaction de mesure déterminent laquelle s'applique, si bien que le choix relève autant de l'empirie que de la formalisation.

Synthèse

La règle de Lüders formalise la mise à jour la moins perturbatrice pour une mesure projective avec dégénérescence : conditionnellement à un résultat agrégé, l'état est projeté et renormalisé dans l'espace propre correspondant, préservant la cohérence interne tout en éliminant la cohérence entre espaces propres différents.