Ein Theorem, das aussagt, dass für kanonische Systeme mit endlicher Zahl von Freiheitsgraden alle irreduziblen regulären Darstellungen der kanonischen Kommutatorrelationen (Weyl-Form der CCR) unitär äquivalent zur Standard-Schrödinger-Darstellung sind; es stellt die Eindeutigkeit (bis auf unitäre Äquivalenz) der Quantisierung unter Regulierheitsannahmen sicher.

Prinzip

Irreduzibilität zusammen mit den Weyl-CCR und einer Regularitätsbedingung erzwingt, dass jede Darstellung unitär äquivalent zur Schrödinger-Darstellung ist, wodurch eine eindeutige quantenkinematische Struktur für Systeme mit endlich vielen kanonischen Freiheitsgraden entsteht.

Demonstration

Für einen Freiheitsgrad lassen sich die Weyl-Operatoren W(q,p), die die Weyl-Relation erfüllen, auf L^2(R) durch die üblichen Orts- und Impulsoperatoren darstellen; der Stone–Von Neumann-Satz gewährleistet, dass jede irreduzible reguläre Darstellung dieser Relationen unitär äquivalent zu dieser Schrödinger-Darstellung ist.

Fehlanwendung

Zu behaupten, das Theorem gelte uneingeschränkt in unendlichen Dimensionen (Quantenfeldtheorie) oder Regularitäts-/Stetigkeitsanforderungen zu ignorieren; dadurch zieht man falsche Schlüsse über die Eindeutigkeit von Darstellungen, wenn tatsächlich nicht äquivalente Darstellungen existieren.

Konsequenz

Bietet eine solide mathematische Grundlage für die kanonische Quantisierung endlicher Systeme, stützt das übliche Schrödinger-Bild und erklärt, warum alternative Konstruktionen in solchen Systemen zu denselben physikalischen Vorhersagen führen.

Umkehrung

Bei Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden kehrt sich das Resultat um: Es existieren in der Regel unendlich viele nicht äquivalente irreduzible Darstellungen der CCR, sodass die Eindeutigkeit versagt und unterschiedliche Darstellungen zu verschiedenen physikalischen Phasen gehören können.

Abgrenzung

Setzt eine endliche Zahl kanonischer Freiheitsgrade, Irreduzibilität und Regularität (Stetigkeit der Weyl-Operatoren) voraus; schließt unendliche Systeme, Systeme mit topologischen Hürden oder abgeschwächte Regularität aus, in denen nicht äquivalente Darstellungen auftreten.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der beruhigenden Eindeutigkeit für endliche Systeme durch Stone–Von Neumann und der Vielzahl von Darstellungen in der Quantenfeldtheorie; der Geltungsbereich des Satzes muss geprüft werden, bevor man Eindeutigkeit behauptet.

Synthese

Der Stone–Von Neumann-Satz stellt fest, dass unter Voraussetzungen endlicher Freiheitsgrade und Regularität die Weyl-CCR eine eindeutige irreduzible Darstellung bis auf unitäre Äquivalenz besitzen, wodurch die universelle Nutzung der Schrödinger-Darstellung in solchen Systemen gerechtfertigt wird, während diese Eindeutigkeit in unendlichen Systemen verloren geht.