Un théorème affirmant que, pour les systèmes canoniques à nombre fini de degrés de liberté, toutes les représentations irréductibles régulières des relations de commutation canoniques (forme de Weyl des CCR) sont unitaires équivalentes à la représentation standard de Schrödinger ; il établit l'unicité (à équivalence unitaire près) de la quantification sous des hypothèses de régularité.

Principe

L'irréductibilité combinée aux relations de commutation canoniques de Weyl et à une condition de régularité contraint toute représentation à être unitairement équivalente à la représentation de Schrödinger, assurant une structure cinématique quantique unique pour les systèmes à nombre fini de degrés de liberté canoniques.

Démonstration

Pour un seul degré de liberté, la paire d'opérateurs de Weyl W(q,p) satisfaisant la relation de Weyl peut être représentée sur L^2(R) par les opérateurs habituels de position et d'impulsion ; Stone–Von Neumann garantit que toute représentation irréductible régulière de ces relations est unitairement équivalente à cette représentation de Schrödinger.

Mauvaise application

Supposer que le théorème vaut sans restriction en dimension infinie (théorie quantique des champs) ou ignorer les conditions de régularité/continuité ; cela conduit à des conclusions incorrectes sur l'unicité des représentations quand des représentations non équivalentes existent réellement.

Conséquence

Fournit une base mathématique solide pour la quantification canonique des systèmes finis, sous-tendant le cadre de Schrödinger standard et expliquant pourquoi des constructions alternatives donnent les mêmes prédictions physiques dans ces systèmes.

Inversion

Pour les systèmes à degrés de liberté infinis, le résultat s'inverse : il existe généralement une infinité de représentations irréductibles non équivalentes des CCR, de sorte que l'unicité échoue et que différentes représentations peuvent correspondre à des phases physiques distinctes.

Limite

Suppose un nombre fini de degrés de liberté canoniques, l'irréductibilité et la régularité (continuité des opérateurs de Weyl) ; il exclut les systèmes infinis, les systèmes avec obstructions topologiques ou une régularité affaiblie où apparaissent des représentations non équivalentes.

Tension sémantique

Tension entre l'assurance d'unicité pour les systèmes finis garantie par Stone–Von Neumann et la multiplicité de représentations en théorie quantique des champs ; il faut vérifier le domaine de validité du théorème avant d'invoquer l'unicité.

Synthèse

Le théorème de Stone–Von Neumann établit que, sous les hypothèses de degrés de liberté finis et de régularité, les CCR de Weyl admettent une unique représentation irréductible à équivalence unitaire près, justifiant l'utilisation universelle de la représentation de Schrödinger dans ces systèmes tout en signalant que cette unicité disparaît pour les systèmes infinis.