Un teorema que afirma que, para sistemas canónicos con un número finito de grados de libertad, todas las representaciones irreducibles regulares de las relaciones de conmutación canónicas (forma de Weyl de las CCR) son unitariamente equivalentes a la representación de Schrödinger estándar; establece la unicidad (a equivalencia unitaria) de la cuantización bajo hipótesis de regularidad.

Principio

Irreducibilidad más las relaciones canónicas de Weyl y una condición de regularidad obligan a que cualquier representación sea unitariamente equivalente a la representación de Schrödinger, asegurando una estructura cinemática cuántica única para sistemas con un número finito de grados de libertad canónicos.

Demostración

Para un solo grado de libertad, el par de operadores de Weyl W(q,p) que satisfacen la relación de Weyl puede representarse en L^2(R) como los operadores usuales de posición y momento; Stone–Von Neumann garantiza que cualquier representación irreducible regular de estas relaciones es unitariamente equivalente a dicha representación de Schrödinger.

Aplicación incorrecta

Asumir que el teorema vale sin matices en entornos de dimensión infinita (teoría cuántica de campos) o ignorar los requisitos de regularidad/continuidad; hacerlo conduce a conclusiones incorrectas sobre la unicidad de representaciones cuando en realidad existen representaciones inequivalentes.

Consecuencia

Proporciona una base matemática firme para la cuantización canónica de sistemas finitos, respaldando el marco de Schrödinger estándar y explicando por qué construcciones alternativas conducen a las mismas predicciones físicas en dichos sistemas.

Inversión

En sistemas con infinitos grados de libertad el resultado se invierte: generalmente existen infinitas representaciones irreducibles inequivalentes de las CCR, por lo que la unicidad falla y diferentes representaciones pueden corresponder a fases físicas distintas.

Límite

Supone un número finito de grados de libertad canónicos, irreducibilidad y regularidad (continuidad de los operadores de Weyl); excluye sistemas infinitos, sistemas con obstrucciones topológicas o regularidad debilitada donde aparecen representaciones no equivalentes.

Tensión semántica

Tensión entre la tranquilidad de la unicidad para sistemas finitos garantizada por Stone–Von Neumann y la multiplicidad de representaciones en contextos de teoría cuántica de campos; debe verificarse el dominio de validez del teorema antes de invocar unicidad.

Síntesis

El teorema de Stone–Von Neumann establece que, bajo hipótesis de grados de libertad finitos y regularidad, las CCR de Weyl admiten una única representación irreducible hasta equivalencia unitaria, justificando el uso universal de la representación de Schrödinger en tales sistemas y subrayando que esta unicidad se pierde en sistemas infinitos.